O ar escoa sobre a parte superior da asa de um avião, cuja área é A, com velocidade v_{\mathrm{s}}, e sob a parte inferior da asa com velocidade v_{\mathrm{i}}. Mostre que a equação de Bernoulli prevê que a força de sustentação S orientada para cima sobre a asa será
L=\frac{1}{2} \boldsymbol{\rho} \boldsymbol{A}\left(v_{1}^{2}-v_{0}^{2}\right) .
onde \rho é a massa específica do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à superfície inferior. Você pode justificar o fato de considerar-se as constantes para as duas linhas de corrente iguais?)

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento incompressível, estacionário e sem viscosidade sobre uma asa de área A, com velocidade v_{\mathrm{s}} na face superior e v_{\mathrm{i}} na face inferior. Queremos usar a equação de Bernoulli para obter a força de sustentação L perpendicular à asa. Para isso, vamos aplicar Bernoulli em duas linhas de corrente (uma próxima à superfície superior e outra à inferior) e depois calcular a diferença de pressão multiplicada por A.

Passo 2

Em escoamento estacionário, incompressível e desprezando diferenças de altura, a equação de Bernoulli ao longo de qualquer linha de corrente vale
p + \tfrac12\,\rho\,v^2 = \text{constante}.
As duas linhas de corrente partem e terminam na região distante onde a pressão é p_{\infty} e a velocidade é v_{\infty}, logo compartilham a mesma constante
p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,v_{\infty}^2 = C.
Aplicando em cada face da asa:
p_{\mathrm{s}} + \tfrac12\,\rho\,v_{\mathrm{s}}^2 = C \quad\Longrightarrow\quad p_{\mathrm{s}} = p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,(v_{\infty}^2 - v_{\mathrm{s}}^2),
p_{\mathrm{i}} + \tfrac12\,\rho\,v_{\mathrm{i}}^2 = C \quad\Longrightarrow\quad p_{\mathrm{i}} = p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,(v_{\infty}^2 - v_{\mathrm{i}}^2).

Passo 3

A diferença de pressão entre a face inferior e a superior é
p_{\mathrm{i}} - p_{\mathrm{s}} = \bigl[p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,(v_{\infty}^2 - v_{\mathrm{i}}^2)\bigr] - \bigl[p_{\infty} + \tfrac12\,\rho\,(v_{\infty}^2 - v_{\mathrm{s}}^2)\bigr] = \tfrac12\,\rho\,(v_{\mathrm{s}}^2 - v_{\mathrm{i}}^2).

Passo 4

A força de sustentação L é a diferença de pressão vezes a área A, orientada para cima:
L = (p_{\mathrm{i}} - p_{\mathrm{s}})\,A = \tfrac12\,\rho\,A\,(v_{\mathrm{s}}^2 - v_{\mathrm{i}}^2).
Identificando v_{1}=v_{\mathrm{s}} e v_{0}=v_{\mathrm{i}}, obtemos
L = \tfrac12\,\rho\,A\,(v_{1}^{2} - v_{0}^{2}).

Resposta

L = \frac12\,\rho\,A\,(v_{1}^{2} - v_{0}^{2}).

Exercícios relacionados