Suponha que dois reservatórios, 1 e 2 , cada um com uma grande abertura na parte superior, contenham líquidos diferentes. Um pequeno orifício é feito na parede lateral de cada um dos reservatórios à mesma profundidade h abaixo do nível dos líquidos, porém o orifício do reservatório 1 possui a metade da área do orifício do reservatório 2. (a) Qual será a razão \rho_{1} / \rho_{2} entre as massas específicas dos fluidos se foi observado que o fluxo de massa é o mesmo nos dois orifícios? (b) Qual a razão entre as vazões nos orifícios dos dois reservatórios? (c) Deseja-se igualar as duas vazões adicionando-se ou retiran-do-se líquido do reservatório 2. Qual deve ser a nova altura do líquido acima do orifício no reservatório 2 para que a vazão neste reservatório seja igual à do reservatório 1 ?

Passo 1

O enunciado descreve dois reservatórios (1 e 2) com orifícios na parede a uma profundidade \,h abaixo da superfície. O orifício do reservatório 1 tem área \,A_1, e o do reservatório 2 tem área \,A_2=2A_1. Foi observado que a taxa de fluxo de massa \dot m é a mesma em ambos. Vamos usar a fórmula de Torricelli para a velocidade de saída e a definição de fluxo de massa para relacionar densidades e áreas.

Passo 2

Pela equação de Torricelli, a velocidade de saída em cada orifício é
v = \sqrt{2\,g\,h},
onde g é a aceleração da gravidade. Como ambos os orifícios estão à mesma profundidade, as velocidades são iguais:
v_1 = v_2 = \sqrt{2\,g\,h}.

Passo 3

O fluxo de massa em cada orifício é
\dot m_i = \rho_i\,A_i\,v_i,
e, como \dot m_1=\dot m_2 e v_1=v_2, obtemos
\rho_1\,A_1=\rho_2\,A_2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{A_2}{A_1}=2.

Passo 4

A vazão volumétrica em cada orifício é
Q_i=\frac{\dot m_i}{\rho_i}.
Como \dot m_1=\dot m_2, a razão entre as vazões é
\frac{Q_1}{Q_2} =\frac{\dot m_1/\rho_1}{\dot m_2/\rho_2} =\frac{\rho_2}{\rho_1} =\frac{1}{2}.

Passo 5

Para igualar as vazões mantendo A_1, A_2 e g, mas mudando a profundidade no reservatório 2 para \,H, exigimos
A_1\sqrt{2gh} = A_2\sqrt{2gH} \;\Longrightarrow\; \sqrt{H}=\frac{A_1}{A_2}\sqrt{h} =\frac12\sqrt{h} \;\Longrightarrow\; H=\frac{h}{4}.

Resposta

(a) \displaystyle \rho_1/\rho_2=2.
(b) \displaystyle Q_1/Q_2=1/2.
(c) A nova altura deve ser \displaystyle H=h/4.

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