Ar seco a 20^{\circ} \mathrm{C} e 85 kPa escoa ao longo de uma superfície molhada de 1 m de comprimento, o escoamento foi caracterizado como escoamento laminar. Determine:
  • A velocidade do escoamento,
  • O coeficiente convectivo de transferência de massa,
  • O número de Schmidt,
  • Taxa massa de humidade que se difunde no ar ( \mathrm{kg} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado dá ar seco a 20^\circ\mathrm{C} e 85\:\mathrm{kPa} escoando sobre uma placa molhada de comprimento L=1\:\mathrm{m}, em regime laminar. Queremos calcular a velocidade do escoamento u, o coeficiente convectivo de massa h_m, o número de Schmidt \mathrm{Sc} e a taxa de massa de umidade que se difunde no ar. Vamos usar a teoria de escoamento laminar sobre placa plana e a correlação de Sherwood para transferência de massa análoga à de Nusselt em calor.

Passo 2

Calculamos primeiro a densidade e a viscosidade cinemática do ar a 20^\circ\mathrm{C} e 85\:\mathrm{kPa}.
A densidade é
\rho = \frac{p}{R\,T}
com p=85\times10^3\:\mathrm{Pa}, R=287\:\mathrm{J/(kg\cdot K)} e T=293\:\mathrm{K}.
\rho = \frac{85\times10^3}{287\cdot293}\approx1{,}011\:\mathrm{kg/m^3}.
Tomando \mu=1{,}81\times10^{-5}\:\mathrm{Pa\cdot s}, a viscosidade cinemática é
\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{1{,}81\times10^{-5}}{1{,}011}\approx1{,}79\times10^{-5}\:\mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Para que o escoamento permaneça laminar até L=1\:\mathrm{m}, usamos o Reynolds crítico típico \mathrm{Re}_{\rm cr}=5\times10^5. Assim,
\mathrm{Re}_L = \frac{u\,L}{\nu} = \mathrm{Re}_{\rm cr} \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{\mathrm{Re}_{\rm cr}\,\nu}{L} = \frac{5\times10^5\cdot1{,}79\times10^{-5}}{1} \approx8{,}95\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

O número de Schmidt é \mathrm{Sc}=\nu/D_{AB}. Tomando o coeficiente de difusão do vapor d’água no ar a 20^\circ\mathrm{C},
D_{AB}\approx2{,}60\times10^{-5}\:\mathrm{m^2/s},
temos
\mathrm{Sc} = \frac{1{,}79\times10^{-5}}{2{,}60\times10^{-5}} \approx0{,}69.

Passo 5

A correlação média de Sherwood para escoamento laminar em placa plana é
\mathrm{Sh}_L = 0{,}664\;\mathrm{Re}_L^{1/2}\;\mathrm{Sc}^{1/3}.
Calculando
\mathrm{Re}_L^{1/2}=(5\times10^5)^{1/2}\approx707{,}1, \quad \mathrm{Sc}^{1/3}\approx0{,}69^{1/3}\approx0{,}88,
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\mathrm{Sh}_L = 0{,}664\cdot707{,}1\cdot0{,}88\approx414{,}6.
O coeficiente convectivo de massa médio é
h_m = \frac{\mathrm{Sh}_L\,D_{AB}}{L} = \frac{414{,}6\cdot2{,}60\times10^{-5}}{1} \approx1{,}08\times10^{-2}\:\mathrm{m/s}.

Passo 6

Para a taxa de massa, usamos o fluxo de massa por unidade de área
J = h_m\bigl(C_s - C_\infty\bigr).
O ar seco implica C_\infty\approx0. A concentração de vapor saturado na superfície é
C_s = \frac{p_{\rm sat}(20^\circ\mathrm{C})}{R_v\,T} = \frac{2\,338\:\mathrm{Pa}}{461{,}5\:\mathrm{J/(kg\cdot K)}\cdot293\:\mathrm{K}} \approx0{,}0173\:\mathrm{kg/m^3}.
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J = 1{,}08\times10^{-2}\cdot0{,}0173 \approx1{,}87\times10^{-4}\:\mathrm{kg/(m^2\,s)}.
Assumindo largura da placa de 1\:\mathrm{m}, a área é 1\times1=1\:\mathrm{m^2}, portanto a taxa de massa total é
\dot m = J\cdot A = 1{,}87\times10^{-4}\:\mathrm{kg/s}.

Resposta

Velocidade do escoamento: u\approx8{,}95\:\mathrm{m/s}.
Coeficiente convectivo de massa: h_m\approx1{,}08\times10^{-2}\:\mathrm{m/s}.
Número de Schmidt: \mathrm{Sc}\approx0{,}69.
Taxa de massa de umidade difundida: \dot m\approx1{,}9\times10^{-4}\:\mathrm{kg/s}.

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