Considere um contêiner de raio interno r_{1}=8 \mathrm{~cm}, raio externo r_{2}=10 \mathrm{~cm} e condutividade térmica \mathrm{k}=45 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes de \mathrm{T}_{1}=200^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{2}=80^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob condições permanentes e determine a taxa de perda de calor.

Passo 1

O enunciado trata da condução de calor unidimensional em regime permanente através de uma casca cilíndrica de raio interno r_{1}, raio externo r_{2} e condutividade térmica k. As superfícies em r=r_{1} e r=r_{2} estão mantidas em temperaturas fixas T_{1} e T_{2}. Vamos usar a forma da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas para obter T(r) e depois aplicar a lei de Fourier para calcular a taxa de perda de calor.

Passo 2

Em regime permanente e sem geração de calor, a equação de condução em coordenadas cilíndricas (dependendo só de r) é
0 \;=\;\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dT}{dr}\Bigr).
Integrando uma vez, obtemos
r\,\frac{dT}{dr}=C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{dr}=\frac{C_{1}}{r}.
Integrando de novo, surge a forma geral
T(r)=C_{1}\ln(r)+C_{2}.

Passo 3

Usamos as condições de contorno T(r_{1})=T_{1} e T(r_{2})=T_{2}:
T_{1}=C_{1}\ln(r_{1})+C_{2}, \qquad T_{2}=C_{1}\ln(r_{2})+C_{2}.
Subtraindo as duas, vem
T_{2}-T_{1}=C_{1}\bigl[\ln(r_{2})-\ln(r_{1})\bigr] \;\Longrightarrow\; C_{1}=\frac{T_{2}-T_{1}}{\ln\!\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}.
E então
C_{2}=T_{1}-C_{1}\ln(r_{1}).

Passo 4

Substituindo C_{1} e C_{2} em T(r), resulta
T(r) =\,T_{1} +\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr)\, \frac{\ln\!\bigl(r/r_{1}\bigr)}{\ln\!\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}.

Passo 5

A taxa de calor por unidade de comprimento Q' é obtida pela lei de Fourier radial:
Q'=-k\;2\pi r\;\frac{dT}{dr} =-k\;2\pi r\;\frac{C_{1}}{r} =2\pi k\;\frac{T_{1}-T_{2}}{\ln\!\bigl(r_{2}/r_{1}\bigr)}.
Note que T_{1}>T_{2}, então Q'>0 indica fluxo do interior para o exterior. Para um comprimento L, a taxa total é
\dot Q = Q'\,L =2\pi k L\,\frac{T_{1}-T_{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})}.
Substituindo r_{1}=0{,}08,m, r_{2}=0{,}10,m, k=45,W/mK, T_{1}-T_{2}=120,K e tomando L=1,m,
Q'\approx 2\pi\cdot45\cdot\frac{120}{\ln(0{,}10/0{,}08)} \approx1{,}52\times10^{5}\\ \mathrm{W/m}.

Resposta

A distribuição de temperatura é
T(r)=T_{1}+\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr)\, \frac{\ln(r/r_{1})}{\ln(r_{2}/r_{1})},
e a taxa de perda de calor por unidade de comprimento é
Q'=\frac{2\pi k\,(T_{1}-T_{2})}{\ln(r_{2}/r_{1})}\approx1{,}52\times10^{5}\\ \mathrm{W/m}.

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