Considere um contêiner de raio interno
, raio externo
e condutividade térmica
. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes de
e
, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob condições permanentes e determine a taxa de perda de calor.
Passo 1
O enunciado trata da condução de calor unidimensional em regime permanente através de uma casca cilíndrica de raio interno
, raio externo
e condutividade térmica
. As superfícies em
e
estão mantidas em temperaturas fixas
e
. Vamos usar a forma da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas para obter
e depois aplicar a lei de Fourier para calcular a taxa de perda de calor.
Passo 2
Em regime permanente e sem geração de calor, a equação de condução em coordenadas cilíndricas (dependendo só de
) é
Integrando uma vez, obtemos
Integrando de novo, surge a forma geral
Passo 3
Usamos as condições de contorno
e
:
Subtraindo as duas, vem
E então
Passo 4
Substituindo
e
em
, resulta
Passo 5
A taxa de calor por unidade de comprimento
é obtida pela lei de Fourier radial:
Note que
, então
indica fluxo do interior para o exterior. Para um comprimento
, a taxa total é
Substituindo
,m,
,m,
,W/mK,
,K e tomando
,m,
Resposta
A distribuição de temperatura é
e a taxa de perda de calor por unidade de comprimento é