Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um para formar um quadrado e outro para formar um triângulo equilátero. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja:
máxima.
máxima.
Passo 1
O enunciado dá um arame de comprimento total
que será cortado em dois pedaços. Um pedaço será usado para formar um quadrado e o outro para formar um triângulo equilátero. A pergunta é: como dividir (em centímetros) o arame entre quadrado e triângulo de modo que a soma das áreas dos dois polígonos seja máxima?
Informações relevantes:
- Comprimento total do arame:
. - Um pedaço com comprimento
(a determinar) irá formar um quadrado. - O outro pedaço tem comprimento
e irá formar um triângulo equilátero. - Pedem a divisão do arame que maximiza a soma das áreas.
Passo 2
Definimos a variável que vamos usar:
- Seja
o comprimento do arame destinado ao quadrado. - Então o comprimento destinado ao triângulo equilátero é
.
Explicação didática: escolher uma variável é importante para escrever as áreas em função de uma única quantidade e assim poder otimizar (maximizar) essa função. O intervalo
representa cortes possíveis — não faz sentido cortar com comprimento negativo ou maior que o total.
Passo 3
Área do quadrado em função de
.
Se o perímetro do quadrado é
, cada lado vale
. A área do quadrado é lado ao quadrado, portanto:
Explicação didática: perímetro dividido por 4 dá o comprimento de cada lado; área de quadrado é lado vezes lado.
Passo 4
Área do triângulo equilátero em função de
.
Se o perímetro do triângulo é
, cada lado vale
A área de um triângulo equilátero de lado
pode ser obtida usando a altura
e a fórmula área
. Assim:
Substituindo
:
Explicação didática: a fórmula
é a forma padrão da área de triângulo equilátero e vem da relação altura =
.
Passo 5
Função objetivo: soma das áreas em função de
.
Somando as duas áreas:
Nossa meta é escolher
no intervalo para maximizar
.
Passo 6
Método para maximizar: usamos cálculo (derivada) para encontrar pontos críticos e o teste da segunda derivada; além disso verificamos os extremos do intervalo, pois a solução ótima pode ocorrer nas extremidades. Justificativa:
é uma função polinomial (quadrática) bem comportada no intervalo fechado
.
Passo 7
Calcular a derivada primeira
e achar pontos críticos.
Derivando termo a termo:
Explicação didática: regra básica da derivada de
é
, daí o fator
produz
. Para o segundo termo usa-se a regra da cadeia: derivada de
é
.
Passo 8
Resolver
para encontrar ponto crítico interior.
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por
(para eliminar denominadores):
Desenvolvendo:
Portanto
Podemos dar também uma aproximação numérica:
Explicação didática: este é o ponto onde a taxa de variação da área total se anula — candidato a máximo ou mínimo.
Passo 9
Teste da segunda derivada para classificar o ponto crítico.
Calculamos
Note que
. Logo
para todo
, o que significa que
é uma função convexa (curva para cima) e o ponto crítico interior encontrado é um mínimo, não um máximo.
Explicação didática: para funções com curvatura positiva, pontos onde a derivada é zero são mínimos; portanto a máxima área no intervalo fechado ocorrerá em uma das extremidades
ou
.
Passo 10
Avaliar
nas extremidades para decidir o máximo.
- Para
(todo o arame no quadrado):
- Para
(todo o arame no triângulo):
Comparando,
é maior que
. Portanto a área total é máxima quando
, ou seja, quando todo o arame é usado para fazer o quadrado.
Explicação didática: como a soma das áreas é convexa, o máximo no intervalo fechado ocorre em um dos extremos; comparar os dois extremos nos dá a escolha ótima.
Passo 11
Interpretação prática e conclusão amigável: para maximizar a soma das áreas, não vale a pena formar o triângulo — é melhor dedicar todo o arame ao quadrado. Pode soar um pouco contraintuitivo, mas as fórmulas de área (quadrado cresce como o quadrado do lado com coeficiente maior que o coeficiente efetivo do triângulo dado o mesmo perímetro) explicam isso.
Resposta
Dar
para o quadrado e
para o triângulo.
Área máxima total .
Área máxima total