Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um para formar um quadrado e outro para formar um triângulo equilátero. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja:
máxima.

Passo 1

O enunciado dá um arame de comprimento total \,20\\ \text{cm}\, que será cortado em dois pedaços. Um pedaço será usado para formar um quadrado e o outro para formar um triângulo equilátero. A pergunta é: como dividir (em centímetros) o arame entre quadrado e triângulo de modo que a soma das áreas dos dois polígonos seja máxima?
Informações relevantes:
  • Comprimento total do arame: \,20\\ \text{cm}.
  • Um pedaço com comprimento \,x\\ \text{cm} (a determinar) irá formar um quadrado.
  • O outro pedaço tem comprimento \,20-x\\ \text{cm} e irá formar um triângulo equilátero.
  • Pedem a divisão do arame que maximiza a soma das áreas.

Passo 2

Definimos a variável que vamos usar:
  • Seja \,x\in[0,20]\, o comprimento do arame destinado ao quadrado.
  • Então o comprimento destinado ao triângulo equilátero é \,20-x.
Explicação didática: escolher uma variável é importante para escrever as áreas em função de uma única quantidade e assim poder otimizar (maximizar) essa função. O intervalo [0,20] representa cortes possíveis — não faz sentido cortar com comprimento negativo ou maior que o total.

Passo 3

Área do quadrado em função de \,x.
Se o perímetro do quadrado é \,x, cada lado vale \,s=\dfrac{x}{4}. A área do quadrado é lado ao quadrado, portanto:
A_{\text{quad}} = s^2 = \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 = \dfrac{x^2}{16}.
Explicação didática: perímetro dividido por 4 dá o comprimento de cada lado; área de quadrado é lado vezes lado.

Passo 4

Área do triângulo equilátero em função de \,x.
Se o perímetro do triângulo é \,20-x, cada lado vale
a=\dfrac{20-x}{3}.
A área de um triângulo equilátero de lado \,a\, pode ser obtida usando a altura \,h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a e a fórmula área =\dfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}. Assim:
A_{\text{tri}} = \dfrac{1}{2}\,a\,h = \dfrac{1}{2}\,a\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.
Substituindo a=\dfrac{20-x}{3}:
A_{\text{tri}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(\dfrac{20-x}{3}\right)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{36}\,(20-x)^2.
Explicação didática: a fórmula \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 é a forma padrão da área de triângulo equilátero e vem da relação altura = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a.

Passo 5

Função objetivo: soma das áreas em função de \,x.
Somando as duas áreas:
A(x)=A_{\text{quad}}+A_{\text{tri}}=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{\sqrt{3}}{36}\,(20-x)^2, \qquad 0\le x\le 20.
Nossa meta é escolher \,x\, no intervalo para maximizar A(x).

Passo 6

Método para maximizar: usamos cálculo (derivada) para encontrar pontos críticos e o teste da segunda derivada; além disso verificamos os extremos do intervalo, pois a solução ótima pode ocorrer nas extremidades. Justificativa: A(x) é uma função polinomial (quadrática) bem comportada no intervalo fechado [0,20].

Passo 7

Calcular a derivada primeira A'(x) e achar pontos críticos.
Derivando termo a termo:
A'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^2}{16}\right)+\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{36}(20-x)^2\right) =\dfrac{x}{8}-\dfrac{\sqrt{3}}{18}(20-x).
Explicação didática: regra básica da derivada de x^2 é 2x, daí o fator 1/16 produz x/8. Para o segundo termo usa-se a regra da cadeia: derivada de (20-x)^2 é 2(20-x)\cdot(-1).

Passo 8

Resolver A'(x)=0 para encontrar ponto crítico interior.
Igualando a zero:
\dfrac{x}{8}-\dfrac{\sqrt{3}}{18}(20-x)=0.
Multiplicando ambos os lados por \,72 (para eliminar denominadores):
9x-4\sqrt{3}\,(20-x)=0.
Desenvolvendo:
9x-80\sqrt{3}+4\sqrt{3}\,x=0 \quad\Rightarrow\quad x(9+4\sqrt{3})=80\sqrt{3}.
Portanto
x=\dfrac{80\sqrt{3}}{9+4\sqrt{3}}.
Podemos dar também uma aproximação numérica:
\sqrt{3}\approx1,732\quad\Rightarrow\quad x\approx8,701\\ \text{cm}.
Explicação didática: este é o ponto onde a taxa de variação da área total se anula — candidato a máximo ou mínimo.

Passo 9

Teste da segunda derivada para classificar o ponto crítico.
Calculamos
A''(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{8}-\dfrac{\sqrt{3}}{18}(20-x)\right)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{\sqrt{3}}{18}.
Note que \dfrac{1}{8}+\dfrac{\sqrt{3}}{18}>0. Logo A''(x)>0 para todo x, o que significa que A(x) é uma função convexa (curva para cima) e o ponto crítico interior encontrado é um mínimo, não um máximo.
Explicação didática: para funções com curvatura positiva, pontos onde a derivada é zero são mínimos; portanto a máxima área no intervalo fechado ocorrerá em uma das extremidades x=0 ou x=20.

Passo 10

Avaliar A(x) nas extremidades para decidir o máximo.
  • Para x=20 (todo o arame no quadrado):
A(20)=\dfrac{20^2}{16}+\dfrac{\sqrt{3}}{36}(0)^2=\dfrac{400}{16}=25\\ \text{(unidades: cm}^2\text{)}.
  • Para x=0 (todo o arame no triângulo):
A(0)=\dfrac{0}{16}+\dfrac{\sqrt{3}}{36}\,20^2=\dfrac{\sqrt{3}}{36}\cdot400=\dfrac{100\sqrt{3}}{9}\approx19,245\\ \text{cm}^2.
Comparando, A(20)=25\\ \text{cm}^2 é maior que A(0)\approx19,245\\ \text{cm}^2. Portanto a área total é máxima quando x=20, ou seja, quando todo o arame é usado para fazer o quadrado.
Explicação didática: como a soma das áreas é convexa, o máximo no intervalo fechado ocorre em um dos extremos; comparar os dois extremos nos dá a escolha ótima.

Passo 11

Interpretação prática e conclusão amigável: para maximizar a soma das áreas, não vale a pena formar o triângulo — é melhor dedicar todo o arame ao quadrado. Pode soar um pouco contraintuitivo, mas as fórmulas de área (quadrado cresce como o quadrado do lado com coeficiente maior que o coeficiente efetivo do triângulo dado o mesmo perímetro) explicam isso.

Resposta

Dar \,20\\ \text{cm} para o quadrado e \,0\\ \text{cm} para o triângulo.
Área máxima total =25\\ \text{cm}^2.

Exercícios relacionados