Um arame de 63 m de comprimento é cortado em duas partes e com elas constroem-se um triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes maior que a área do triângulo, podemos concluir que o lado desse triângulo mede
a) 5 m
b) 7 m
c) 9 m
d) 11 m
e) 13 m
a) 5 m
b) 7 m
c) 9 m
d) 11 m
e) 13 m
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre cortar um arame de 63 metros em duas partes para formar um triângulo regular e um hexágono regular. A parada é que a área do hexágono é 6 vezes maior que a do triângulo. Nosso objetivo é descobrir qual é o tamanho do lado desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de perímetro e área de figuras geométricas regulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de uma figura regular é simplesmente o número de lados multiplicado pelo comprimento de cada lado.
- Para o triângulo regular: tem 3 lados, então o perímetro é $ 3 \times lado do triângulo $.
- Para o hexágono regular: tem 6 lados, então o perímetro é $ 6 \times lado do hexágono $.
Como o arame total é de 63 metros, podemos escrever a equação:
Aqui, $ x $ é o lado do triângulo e $ y $ é o lado do hexágono.
Passo 3
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Agora, vamos pensar nas áreas. A área de um triângulo regular é dada por:
E a área de um hexágono regular é:
Segundo a questão, a área do hexágono é 6 vezes a do triângulo:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Observamos que $ \frac{3\sqrt{3}}{2} $ está em ambos os lados, então podemos cancelar:
Passo 6
Agora que sabemos que $ y = x $, podemos substituir isso na Equação 1:
Resposta
O lado do triângulo mede 7 metros. Portanto, a resposta correta é a letra b) 7 m.