Uma fábrica de tecidos sabe que são encontrados em média 1 defeito a cada 10 metros de tecido. Qual seria a probabilidade de que em 20 metros de tecido encontrarmos 4 defeitos? Assinale a alternativa CORRETA:
A) 20%
B) 10,02%
C) 14,05%
D) 9,02%

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica de tecidos que encontra em média 1 defeito a cada 10 metros de tecido. A pergunta é: qual é a probabilidade de encontrarmos 4 defeitos em 20 metros de tecido? Vamos usar probabilidade de eventos raros, mais especificamente a Distribuição de Poisson, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar a taxa média de defeitos para os 20 metros que estamos considerando. Sabemos que há 1 defeito a cada 10 metros, então em 20 metros teremos, em média:
lambda = 1 defeito10 metros times 20 metros = 2 defeitos
Aqui, lambda representa a taxa média de ocorrência dos defeitos no intervalo considerado.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de exatamente 4 defeitos ocorrerem em 20 metros. A fórmula é:
P(k; lambda) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Onde:
  • P(k; lambda) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.
  • lambda é a taxa média de eventos.
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • k! é o fatorial de k.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Aqui, k = 4 e lambda = 2:
P(4; 2) = 2^4 cdot e^-24!
Calculando passo a passo:
  • 2^4 = 16
  • e^-2 approx 0,135335283
  • 4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24

Passo 5

Agora, multiplicamos os valores:
16 times 0,135335283 = 2,165364528
Em seguida, dividimos pelo fatorial:
2,16536452824 approx 0,090223521
Convertendo para porcentagem:
0,090223521 times 100 approx 9,02%

Resposta

A probabilidade de encontrar 4 defeitos em 20 metros de tecido é 9,02%.
Alternativa D) 9,02%

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