resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. [Sugestäo:Faça t=-x .]
28. x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0, \quad y(-2) =8, \quad y^{\prime}(-2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
x^{2}y''-4x\,y'+6y=0
com condições iniciais y(-2)=8 e y'(-2)=0. Para equações de Euler usamos o ansatz y=x^{m}.

Passo 2

Substituindo y=x^{m} na equação, obtemos
m(m-1)x^{m}-4m\,x^{m}+6x^{m}=0
\Longrightarrow \bigl[m(m-1)-4m+6\bigr]x^{m}=0
\Longrightarrow m^{2}-5m+6=0
As raízes são m=2 e m=3. Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3}.

Passo 3

Calculamos y'(x) e aplicamos as condições iniciais:
y'(x)=2C_{1}x+3C_{2}x^{2}.
Em x=-2:
y(-2)=4C_{1}-8C_{2}=8,
y'(-2)=-4C_{1}+12C_{2}=0.
Da segunda equação vem -4C_{1}+12C_{2}=0\implies C_{1}=3C_{2}. Substituindo em 4C_{1}-8C_{2}=8:
4\,(3C_{2})-8C_{2}=8\quad\Longrightarrow\quad12C_{2}-8C_{2}=8\quad\Longrightarrow\quad4C_{2}=8\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=2,
C_{1}=3\cdot2=6.

Passo 4

Logo a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=6x^{2}+2x^{3}=2x^{2}(x+3).

Resposta

y(x)=2x^{2}(x+3).

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