Um arame tem o formato da curva
, onde
é a curva dada pela intersecção da superfície
com o cilindro
. Se a densidade de massa em um ponto
do arame é
, calcule a massa do arame.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um arame disposto na curva
, que é a interseção da superfície
com o cilindro
O conteúdo aqui é integral de linha com densidade variável
. A fórmula da massa é
Passo 2
Para parametrizar
usamos coordenadas polares no cilindro de raio 2:
Então
Passo 3
Simplificando o numerador:
que é exatamente o denominador. Logo
isto é, a curva fica em altura constante
.
Passo 4
O vetor velocidade é
portanto
Passo 5
A densidade vale
Assim a massa é
Passo 6
Para calcular
fazemos a substituição
,
. Então
Portanto
Resposta
A massa do arame é
.