Um arame tem o formato da curva C, onde C é a curva dada pela intersecção da superfície z=5-x^21+y^2 com o cilindro x^2+y^2=4. Se a densidade de massa em um ponto (x, y, z) do arame é de<a(x, y, z)=x^2 y e^z, calcule a massa do arame.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um arame disposto na curva C, que é a interseção da superfície
z=5 - x^21 + y^2
com o cilindro
x^2 + y^2 = 4
O conteúdo aqui é integral de linha com densidade variável de<a(x,y,z). A fórmula da massa é
m = integralC de<a(x,y,z),ds

Passo 2

Para parametrizar C usamos coordenadas polares no cilindro de raio 2:
x(t) = 2cos t, y(t) = 2sin t, tin[0,2pi]
Então
z(t) = 5 - (2cos t)^21 + (2sin t)^2 = 5 - 4cos^2 t1 + 4sin^2 t

Passo 3

Simplificando o numerador:
5 - 4cos^2 t = 5 - 4(1 - sin^2 t) = 1 + 4sin^2 t,
que é exatamente o denominador. Logo
z(t) = 1forall t,
isto é, a curva fica em altura constante z=1.

Passo 4

O vetor velocidade é
r'(t) = l(-2sin t,;2cos t,;0r),
portanto
ds = |r'(t)|,dt = raiz(-2sin t)^2 + (2cos t)^2 + 0^2,dt = raiz4(sin^2 t + cos^2 t),dt = 2,dt

Passo 5

A densidade vale
de<a(x,y,z) = x^2,y,e^z ;Longrightarrow; de<a(t) = (2cos t)^2,(2sin t),e^1 = 8cos^2 t,sin t,e
Assim a massa é
m = integral0^2pi de<a(t),ds = integral0^2pi 8cos^2 t,sin t,e ;times 2,dt =16eintegral0^2picos^2 t,sin t,dt

Passo 6

Para calcular
integral0^2picos^2 t,sin t,dt,
fazemos a substituição u=cos t, du=-sin t,dt. Então
integral0^2picos^2 t,sin t,dt = -integralu(0)=1^u(2pi)=1 u^2,du = -l[tfracu^33r]1^1 = 0
Portanto
m = 16e times 0 = 0

Resposta

A massa do arame é 0.

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