Calcular a área da região R dadas por:
Interior do círculo r=6 cos theta e exterior à cardióide r=2+2 cos theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R em coordenadas polares que é interna ao círculo
r = 6costheta
e externa à cardioide
r = 2 + 2costheta
Para isso vamos usar a fórmula de área em polares
Área = 12 integraltheta1^theta2 l(rexterno^2 - rinterno^2r),dtheta Á
e determinar corretamente os limites de integração e qual curva fica por fora.

Passo 2

Primeiro encontramos as interseções resolvendo
6costheta = 2 + 2costheta
que dá
4costheta = 2 Longrightarrow costheta = tfrac12 Longrightarrow theta = pm tfracpi3
Testando um valor entre -tfracpi3 e tfracpi3 (por exemplo theta=0), vemos que
6cos0 = 6 > 2+2cos0 = 4,
ou seja, nesse intervalo o círculo está “por fora” da cardioide. Logo os limites são theta=-tfracpi3 e theta=tfracpi3, com
rinterno = 2+2costheta, rexterno = 6costheta

Passo 3

Montamos a integral de área
Área = 12 integral-pi/3^pi/3 l[(6costheta)^2 - (2+2costheta)^2r],dtheta Á

Passo 4

Vamos simplificar o integrando. Calculamos
(6costheta)^2 = 36cos^2theta, (2+2costheta)^2 = 4l(1+2costheta+cos^2thetar) = 4+8costheta+4cos^2theta
Então
(6costheta)^2 - (2+2costheta)^2 = 36cos^2theta ;-;(4+8costheta+4cos^2theta) = 32cos^2theta - 8costheta - 4
A área fica
Área = 12 integral-pi/3^pi/3 l(32cos^2theta - 8costheta -4r),dtheta = integral-pi/3^pi/3 l(16cos^2theta - 4costheta -2r),dtheta Á

Passo 5

Para integrar, usamos cos^2theta = tfrac12(1+cos2theta). Assim
integral 16cos^2theta,dtheta = 16integral tfrac12(1+cos2theta),dtheta = 8theta + 4sin2theta,
integral -4costheta,dtheta = -4sintheta, integral -2,dtheta = -2theta
Somando tudo, uma primitiva é
F(theta) = 6theta + 4sin2theta - 4sintheta
Avaliando de -tfracpi3 a tfracpi3
Fl(tfracpi3r) = 2pi, Fl(-tfracpi3r) = -2pi Longrightarrow integral-pi/3^pi/3(cdots),dtheta = 4pi

Resposta

A área da região R é boxed4pi.

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