Calcular a área da região
dadas por:
Interior do círculo
e exterior à cardióide
.
Interior do círculo
Passo 1
O enunciado pede a área da região
em coordenadas polares que é interna ao círculo
e externa à cardioide
Para isso vamos usar a fórmula de área em polares
e determinar corretamente os limites de integração e qual curva fica por fora.
Passo 2
Primeiro encontramos as interseções resolvendo
que dá
Testando um valor entre
e
(por exemplo
), vemos que
ou seja, nesse intervalo o círculo está “por fora” da cardioide. Logo os limites são
e
, com
Passo 3
Montamos a integral de área
Passo 4
Vamos simplificar o integrando. Calculamos
Então
A área fica
Passo 5
Para integrar, usamos
. Assim
Somando tudo, uma primitiva é
Avaliando de
a
dá
Resposta
A área da região
é
.