Calcule:
lim t 0(e^t-1t) i+raiz1+t-1t j+31+t k

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando tto0, do vetor cujas componentes são
e^t-1t, raiz1+t-1t, 31+t
O conteúdo que vamos usar é o cálculo de limites de funções elementares e o fato de que
limtto0f(t)-f(0)t=f'(0) sempre que f for diferenciável em 0, além de continuidade de funções racionais.

Passo 2

Para a componente em i, note que
e^t-1t = e^t-e^0t-0
e isso é justamente a definição de derivada de e^t em t=0. Como l(e^tr)'=e^t, temos
limtto0e^t-1t = e^0 = 1

Passo 3

Para a componente em j, considere f(t)=raiz1+t. Então
raiz1+t-1t = f(t)-f(0)t-0,
e f'(t)=tfrac12raiz1+t. Logo
limtto0raiz1+t-1t = f'(0) = 12raiz1+0 = 12

Passo 4

Para a componente em k, a função g(t)=tfrac31+t é contínua em t=0, então
limtto031+t = 31+0 = 3

Passo 5

Reunindo os resultados das três componentes, o limite do vetor é
1,i + 12,j + 3,k

Resposta

limt 0l(tfrace^t-1t,i+tfracraiz1+t-1t,j+tfrac31+t,kr) = i + tfrac12,j + 3,k

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