Considere uma barra uniforme de comprimento
com distribuição inicial de temperaturas dada por
, para
. Suponha que a temperatura na extremidade
é mantida a
, enquanto a extremidade
está isolada, de modo que não há fluxo de calor através dela. Partindo das equações da propagação do calor dadas na Tabela de Fórmulas, adapte essas equações, determinando uma equação para este caso.
Passo 1
O enunciado trata da barra homogênea de comprimento
submetida à equação do calor unidimensional. A temperatura inicial ao longo da barra é dada por
para
. Queremos adaptar a fórmula clássica de propagação do calor, isto é
incluindo as condições de contorno
e a condição inicial
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e expansão em série de Fourier nos modos apropriados.
Passo 2
Escrevemos o problema de valor de contorno completo:
Aqui
é a difusividade térmica,
fixa a extremidade em
e
impõe isolamento em
.
Passo 3
Assumimos solução do tipo
Substituindo na equação do calor:
e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação.
Passo 4
Da parte espacial surge o problema de autovalores
As soluções não-triviais exigem
com autovetores
Passo 5
Da parte temporal vem
Passo 6
A solução geral é
Para ajustar à condição inicial
, expandimos
onde, pela ortogonalidade,