Considere uma barra uniforme de comprimento L com distribuição inicial de temperaturas dada por f(x), para 0 <= x <= L. Suponha que a temperatura na extremidade x=0 é mantida a 0^circ C, enquanto a extremidade x=L está isolada, de modo que não há fluxo de calor através dela. Partindo das equações da propagação do calor dadas na Tabela de Fórmulas, adapte essas equações, determinando uma equação para este caso.

Passo 1

O enunciado trata da barra homogênea de comprimento L submetida à equação do calor unidimensional. A temperatura inicial ao longo da barra é dada por f(x) para 0<= x<= L. Queremos adaptar a fórmula clássica de propagação do calor, isto é
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2,
incluindo as condições de contorno
u(0,t)=0, partial upartial x(L,t)=0
e a condição inicial
u(x,0)=f(x)
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e expansão em série de Fourier nos modos apropriados.

Passo 2

Escrevemos o problema de valor de contorno completo:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2, 0<x<L,;t>0,
u(0,t)=0, ux(L,t)=0, u(x,0)=f(x)
Aqui alpha^2 é a difusividade térmica, u(0,t)=0 fixa a extremidade em 0^circC e ux(L,t)=0 impõe isolamento em x=L.

Passo 3

Assumimos solução do tipo
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo na equação do calor:
X(x),T'(t)=alpha^2 X''(x),T(t)
e dividindo por alpha^2 X(x)T(t) obtemos
T'(t)alpha^2 T(t) = X''(x)X(x) = -lambda,
onde lambda é constante de separação.

Passo 4

Da parte espacial surge o problema de autovalores
X'' + lambda X = 0, X(0)=0,;X'(L)=0
As soluções não-triviais exigem
lambdan = l((2n+1)pi2Lr)^2, n=0,1,2,dots
com autovetores
Xn(x) = sin!l(tfrac(2n+1)pi2L,xr)

Passo 5

Da parte temporal vem
T'(t) + alpha^2lambdan,T(t)=0 Longrightarrow Tn(t)=exp!l(-alpha^2lambdan,tr)

Passo 6

A solução geral é
u(x,t)=sumn=0^inftyAn,sin!l(tfrac(2n+1)pi2Lxr), e^-alpha^2l(tfrac(2n+1)pi2Lr)^2t
Para ajustar à condição inicial u(x,0)=f(x), expandimos
f(x)=sumn=0^inftyAn,sin!l(tfrac(2n+1)pi2Lxr),
onde, pela ortogonalidade,
An = 2L integral0^L f(x), sin!l(tfrac(2n+1)pi2Lxr),dx

Resposta

boxed u(x,t) = sumn=0^infty gl[ 2L integral0^L f(s),sin!l(tfrac(2n+1)pi2Lsr),ds gr] sin!l(tfrac(2n+1)pi2Lxr), e^-alpha^2l(tfrac(2n+1)pi2Lr)^2t

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