Um arco metálico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se ao longo de uma semicircunferência y^2+z^2=1, z >= 0 no plano yz. Encontre o centro de massa do arco se a densidade no ponto (x, y, z) do arco for de<a(x, y, z)=2-z.
Sugestão: Centro de massa está no eixo z.
a. (0,0,0.8)
b. (0,0,0.4)
c. (0,0,0.7)
d. (0,0,0.57)
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado: temos um arco metálico fino sobre a semicircunferência definida por y^2+z^2=1 com z>=0, densidade variável de<a=2-z. O conteúdo é centro de massa de um arco de densidade não uniforme. Vamos precisar: parâmetro da curva, expressão de ds, densidade de<a, e a fórmula bar z=1Mintegral z,de<a,ds.

Passo 2

Parametrizamos o arco por ângulo theta de 0 a pi:
y=costheta, z=sintheta,
com diferencial de comprimento ds=,dtheta e densidade de<a(theta)=2-sintheta. Pela simetria, bar x=0 e bar y=0.

Passo 3

Calculamos a massa total:
M=integral0^pide<a,ds=integral0^pi(2-sintheta),dtheta =2pi-l[-costhetar]0^pi=2pi-2=2(pi-1)

Passo 4

Calculamos o momento em relação ao eixo xy (para obter bar z):
N=integral0^pi z,de<a,ds=integral0^pi(sintheta)(2-sintheta),dtheta =integral0^pi(2sintheta-sin^2theta),dtheta =4-pi2

Passo 5

O centro de massa em z é
bar z=NM=4-pi22(pi-1)approx0.567
Logo, o centro de massa é (0,0,0.57).

Resposta

(0,0,0.57)

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