Decida se existe a derivada direcional da função f no ponto dado na direção do vetor u. Caso afirmativo, calcule a derivada direcional
f(x, y)=xy no ponto ( 1,2 ) na direção do vetor u=1raiz2(1,1);

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=xy
no ponto (1,2) na direção do vetor unitário
vec u = 1raiz2(1,1)
Como f é quociente de funções polinomiais com denominador yneq0, ela é diferenciável em qualquer ponto com yneq0. Logo, basta usar o gradiente para calcular a derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) =1y, partial fpartial y(x,y) =-xy^2
Como y=2neq0 em (1,2), essas parciais existem e são contínuas num entorno desse ponto, garantindo diferenciabilidade ali.

Passo 3

Avaliamo-las em (1,2):
partial fpartial x(1,2)=12, partial fpartial y(1,2)=-14
Portanto
nabla f(1,2)=l(tfrac12,,-tfrac14r)

Passo 4

A derivada direcional em vec u é dada por
Dvec uf(1,2) =nabla f(1,2)cdotvec u =l(tfrac12,,-tfrac14r)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)
Fazendo o produto escalar,
Dvec uf(1,2) =12,1raiz2 -14,1raiz2 =tfrac12-tfrac14raiz2 =tfrac14raiz2 =14raiz2

Resposta

Dvec uf(1,2)=14raiz2

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