Demonstre as identidades:
\frac{\operatorname{tg} 2 x}{\operatorname{tg} 2 x-\operatorname{tg} x}=2 \cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede que a gente prove a identidade
\frac{\tan 2x}{\tan 2x - \tan x} \;=\; 2\cos^2 x.
Para isso, vamos usar duas fórmulas clássicas:
  1. A fórmula do ângulo duplo para a tangente,
\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x},
  1. A identidade pitagórica que relaciona tangente e cosseno,
1 + \tan^2 x = \operatorname{sec}^2 x \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \cos^2 x.

Passo 2

Substituímos \tan 2x = \tfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} no numerador e no denominador de \displaystyle \frac{\tan 2x}{\tan 2x - \tan x}.
Seja para simplificar t = \tan x. Então
\frac{\tan 2x}{\tan 2x - \tan x} = \frac{\dfrac{2t}{1 - t^2}}{\dfrac{2t}{1 - t^2} - t}.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador:
\dfrac{2t}{1 - t^2} - t = \frac{2t}{1 - t^2} - \frac{t(1 - t^2)}{1 - t^2} = \frac{2t - t + t^3}{1 - t^2} = \frac{t + t^3}{1 - t^2} = \frac{t(1 + t^2)}{1 - t^2}.

Passo 4

Agora o quociente fica
\frac{\tfrac{2t}{1 - t^2}}{\tfrac{t(1 + t^2)}{1 - t^2}} = \frac{2t}{1 - t^2} \,\cdot\, \frac{1 - t^2}{t(1 + t^2)} = \frac{2}{1 + t^2}.
Como t = \tan x, usando 1/(1 + \tan^2 x)=\cos^2 x, obtemos
\frac{2}{1 + \tan^2 x} = 2\cos^2 x.

Resposta

\frac{\tan 2x}{\tan 2x - \tan x} = 2\cos^2 x.

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