Estude o sinal das expressões:
Passo 1
A questão pede para estudar o sinal da expressão
. O conteúdo envolvido é o estudo de sinal de produto de fatores. Para isso vamos fatorar o polinômio, identificar raízes e suas multiplicidades e montar um quadro de sinais.
Passo 2
Vamos usar a diferença de quadrados para fatorar
:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Os zeros da expressão vêm dos fatores:
– →
, multiplicidade 2 (fator
).
– →
, multiplicidade 1.
– →
, multiplicidade 1.
–
–
–
Passo 4
Para montar o quadro de sinais, lembramos:
– Uma raiz de multiplicidade ímpar faz o sinal trocar de + para – ou vice-versa.
– Uma raiz de multiplicidade par não troca o sinal (passa “batendo” e continua com o mesmo sinal).
Sinal de é sempre ≥0 e só zera em
. Assim o sinal total é dado por
.
Analisando os intervalos:
– :
e
→ produto >0.
– :
,
→ produto <0.
– :
,
→ produto >0.
– : mesma análise de
dá produto >0.
– Uma raiz de multiplicidade ímpar faz o sinal trocar de + para – ou vice-versa.
– Uma raiz de multiplicidade par não troca o sinal (passa “batendo” e continua com o mesmo sinal).
Sinal de
Analisando os intervalos:
–
–
–
–
Passo 5
Concluindo: a expressão zera em
. Troca de sinal em
e
, mas não troca em
(multiplicidade 2). Assim o sinal final em cada região é determinado conforme identificado acima.
Resposta
A expressão é positiva para
, negativa para
, e nula em
.