Estude o sinal das expressões:

Passo 1

A questão pede para estudar o sinal da expressão (x-1)(x+2)(x^2-1). O conteúdo envolvido é o estudo de sinal de produto de fatores. Para isso vamos fatorar o polinômio, identificar raízes e suas multiplicidades e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Vamos usar a diferença de quadrados para fatorar x^2-1:
x^2-1=(x-1)(x+1)
Substituindo em (x-1)(x+2)(x^2-1) obtemos
(x-1)(x+2)(x^2-1)=(x-1)(x+2)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)(x+2)

Passo 3

Os zeros da expressão vêm dos fatores:
x-1=0 x=1, multiplicidade 2 (fator (x-1)^2).
x+1=0 x=-1, multiplicidade 1.
x+2=0 x=-2, multiplicidade 1.

Passo 4

Para montar o quadro de sinais, lembramos:
– Uma raiz de multiplicidade ímpar faz o sinal trocar de + para – ou vice-versa.
– Uma raiz de multiplicidade par não troca o sinal (passa “batendo” e continua com o mesmo sinal).
Sinal de (x-1)^2 é sempre ≥0 e só zera em x=1. Assim o sinal total é dado por (x+1)(x+2).
Analisando os intervalos:
x<-2: x+1<0 e x+2<0 → produto >0.
-2: x+2>0, x+1<0 → produto <0.
-1: x+1>0, x+2>0 → produto >0.
x>1: mesma análise de -1 dá produto >0.

Passo 5

Concluindo: a expressão zera em x=-2,-1,1. Troca de sinal em x=-2 e x=-1, mas não troca em x=1 (multiplicidade 2). Assim o sinal final em cada região é determinado conforme identificado acima.

Resposta

A expressão é positiva para
xin(-infty,-2)cup(-1,1)cup(1,infty), negativa para
xin(-2,-1), e nula em x=-2,-1,1.

Exercícios relacionados