Use as regras de diferenciação para calcular f^prime(z) para a função dada.
f(z)=((4+2 i) z(2-i) z^2+9 i)^3

Passo 1

Vamos chamar de g(z) a parte interna e usar regra da cadeia e do quociente para achar f '(z). Temos f(z) = g(z)^3 com g(z) = dfrac(4+2i)z(2 - i)z^2 + 9i.

Passo 2

Pela regra da cadeia,
f'(z) = 3,g(z)^2,g'(z)

Passo 3

Para encontrar g’(z), aplicamos a regra do quociente: se g(z)=N(z)D(z) então
g'(z)=N'(z)D(z)-N(z)D'(z)D(z)^2

Passo 4

Aqui N(z)=(4+2i)z então N'(z)=4+2i, e D(z)=(2 - i)z^2+9i então D'(z)=2(2 - i)z. Substituindo,
g'(z)=(4+2i)l((2 - i)z^2+9ir)-(4+2i)zcdot2(2 - i)zl((2 - i)z^2+9ir)^2

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
(4+2i)(2 - i)z^2 - 2(4+2i)(2 - i)z^2 + (4+2i)9i = (4+2i)(-2 + i)z^2 + 9i(4+2i)

Passo 6

Calculando (4+2i)(-2 + i)=-10 e 9i(4+2i)=-18+36i, o numerador fica -10z^2 -18 +36i. Logo,
g'(z)=-10z^2 -18 +36il((2 - i)z^2+9ir)^2

Passo 7

Finalmente, juntando tudo em f’(z):
f'(z)=3l((4+2i)z(2 - i)z^2+9ir)^2cdot-10z^2 -18 +36il((2 - i)z^2+9ir)^2

Passo 8

Podemos reunir as potências do denominador e usar (4+2i)^2=12+16i:
f'(z)=3(12+16i)z^2(-10z^2 -18 +36i)l((2 - i)z^2+9ir)^4 = (36+48i)z^2(-10z^2 -18 +36i)l((2 - i)z^2+9ir)^4

Resposta

f'(z)=(36+48i),z^2l(-10z^2 -18 +36ir)l((2 - i)z^2 +9ir)^4

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