A área de atuação do corpo de bombeiros de uma cidade é dada pela equação
. Considerando que uma determinada residência possui as coordenadas
, analise as afirmações seguintes.
I. A residência não está coberta por este corpo de bombeiros.
II. A sede do corpo de bombeiros está localizada nas coordenadas
.
III. O raio de atuação deste corpo de bombeiros é de 5 unidades de medida.
É correto apenas o que se afirma em
(A) I, II e III.
(B) III.
(C) I e II.
(D) II e III.
I. A residência não está coberta por este corpo de bombeiros.
II. A sede do corpo de bombeiros está localizada nas coordenadas
III. O raio de atuação deste corpo de bombeiros é de 5 unidades de medida.
É correto apenas o que se afirma em
(A) I, II e III.
(B) III.
(C) I e II.
(D) II e III.
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação da área de atuação do corpo de bombeiros:
E uma residência localizada no ponto
. Precisamos verificar quais das afirmações I, II e III estão corretas com base nessa equação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o centro e o raio de um círculo a partir da sua equação geral e calcular a distância entre dois pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação geral do círculo para encontrar o centro
e o raio
. A equação geral de um círculo é:
Podemos completar o quadrado para encontrar
e
.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
e
:
Para completar o quadrado:
-
Para
: - Metade de
é , e - Adicionamos e subtraímos 1:
- Metade de
-
Para
: - Metade de
é , e - Adicionamos e subtraímos 1:
- Metade de
Então, a equação fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a equação na forma padrão, podemos identificar:
- Centro
- Raio
Então, a sede do corpo de bombeiros está em
e o raio de atuação é de 5 unidades.
Passo 5
Para verificar se a residência
está coberta, calculamos a distância entre
e
:
Como
, a residência está dentro da área de atuação, ou seja, está coberta pelo corpo de bombeiros. Portanto, a afirmação I está incorreta.
Resposta
(D) II e III.