A área de atuação do corpo de bombeiros de uma cidade é dada pela equação x^2+ y^2-2 x-2 y-23=0. Considerando que uma determinada residência possui as coordenadas P(5,0), analise as afirmações seguintes.
I. A residência não está coberta por este corpo de bombeiros.
II. A sede do corpo de bombeiros está localizada nas coordenadas S(1,1).
III. O raio de atuação deste corpo de bombeiros é de 5 unidades de medida.
É correto apenas o que se afirma em
(A) I, II e III.
(B) III.
(C) I e II.
(D) II e III.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação da área de atuação do corpo de bombeiros:
x^2 + y^2 - 2x - 2y - 23 = 0
E uma residência localizada no ponto P(5, 0) . Precisamos verificar quais das afirmações I, II e III estão corretas com base nessa equação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o centro e o raio de um círculo a partir da sua equação geral e calcular a distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação geral do círculo para encontrar o centro (h, k) e o raio r. A equação geral de um círculo é:
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0
Podemos completar o quadrado para encontrar h e k.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de x e y:
x^2 - 2x + y^2 - 2y = 23
Para completar o quadrado:
  1. Para x: x^2 - 2x
    • Metade de -2 é -1, e (-1)^2 = 1
    • Adicionamos e subtraímos 1: x^2 - 2x + 1 - 1
  2. Para y: y^2 - 2y
    • Metade de -2 é -1, e (-1)^2 = 1
    • Adicionamos e subtraímos 1: y^2 - 2y + 1 - 1
Então, a equação fica:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 23 + 1 + 1
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25

Passo 4

Agora que temos a equação na forma padrão, podemos identificar:
  • Centro S(h, k) = S(1, 1)
  • Raio r = raiz25 = 5
Então, a sede do corpo de bombeiros está em S(1, 1) e o raio de atuação é de 5 unidades.

Passo 5

Para verificar se a residência P(5, 0) está coberta, calculamos a distância entre S(1, 1) e P(5, 0) :
d = raiz(5 - 1)^2 + (0 - 1)^2 = raiz16 + 1 = raiz17 approx 4,123
Como 4,123 < 5 , a residência está dentro da área de atuação, ou seja, está coberta pelo corpo de bombeiros. Portanto, a afirmação I está incorreta.

Resposta

(D) II e III.

Exercícios relacionados