Determine a equação da parábola de foco Fe diretriz d nos seguintes casos :
F(9,0) e d: x=-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma equação de parábola! O exercício pede para a gente encontrar a equação da parábola que tem o foco em F(9, 0) e a diretriz dada pela reta x = -9 . Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com parábolas. Para resolver isso, vamos usar a definição da parábola: é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parábola. Uma parábola é formada por todos os pontos (x, y) que estão a uma distância igual do foco e da diretriz. No nosso caso, o foco é F(9, 0) e a diretriz é x = -9 . Então, para qualquer ponto (x, y) na parábola, a distância até o foco deve ser igual à distância até a diretriz.

Passo 3

Vamos expressar essas distâncias matematicamente. A distância de um ponto (x, y) ao foco (9, 0) é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
raiz(x - 9)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - 9)^2 + y^2
A distância do ponto (x, y) à diretriz x = -9 é a distância horizontal, que é:
|x - (-9)| = |x + 9|

Passo 4

Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, podemos escrever a equação:
raiz(x - 9)^2 + y^2 = |x + 9|
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 9)^2 + y^2 = (x + 9)^2
Expandindo os termos:
x^2 - 18x + 81 + y^2 = x^2 + 18x + 81
Agora, simplificando a equação:
-18x + y^2 = 18x
y^2 = 36x

Resposta

A equação da parábola é y^2 = 36x .

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