A área do conjunto A do plano limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo Ox e pelo grafico da funcao y = x 3 é:

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma região no plano que está limitada pelas retas $ x = 1 $ e $ x = 3 $, pelo eixo $ Ox $ (que é o eixo horizontal) e pelo gráfico da função $ y = x^3 $. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente o cálculo de integrais definidas para encontrar áreas sob curvas. Vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral definida.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que queremos encontrar a área. Temos duas retas verticais em $ x = 1 $ e $ x = 3 $. O eixo $ Ox $ é simplesmente a linha onde $ y = 0 $. A função $ y = x^3 $ é uma curva que passa pelo ponto (0,0) e sobe para a direita.

Passo 3

Para encontrar a área entre $ x = 1 $ e $ x = 3 $, abaixo da curva $ y = x^3 $ e acima do eixo $ Ox $, vamos usar uma integral definida. A integral definida nos dá a área sob uma curva entre dois pontos no eixo $ x $.

Passo 4

A fórmula para calcular a área $ A $ é:
A
Onde $ a $ e $ b $ são os limites de integração (neste caso, 1 e 3), e $ f(x) $ é a função que define o limite superior da área (neste caso, $ x^3 $).

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
A = integral1^3 x^3 , dx
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 6

A integral de $ x^3 $ em relação a $ x $ é:
x^3
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, o $ C $ não é necessário.

Passo 7

Vamos agora calcular a integral definida de 1 a 3:
A = [ x^44 ]1^3
Isso significa que vamos avaliar $ \frac{x^4}{4} $ em $ x = 3 $ e em $ x = 1 $ e então subtrair os dois resultados.

Passo 8

Calculando em $ x = 3 $:
x = 3
E em $ x = 1 $:
3^44 = 814

Passo 9

Agora, subtraímos os dois valores:
A = 814 - 14 = 804 = 20

Resposta

A área do conjunto $ A $ é 20 unidades quadradas.

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