A área do conjunto A do plano limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo Ox e pelo grafico da funcao y = x 3 é:
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma região no plano que está limitada pelas retas $ x = 1 $ e $ x = 3 $, pelo eixo $ Ox $ (que é o eixo horizontal) e pelo gráfico da função $ y = x^3 $. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, mais especificamente o cálculo de integrais definidas para encontrar áreas sob curvas. Vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral definida.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que queremos encontrar a área. Temos duas retas verticais em $ x = 1 $ e $ x = 3 $. O eixo $ Ox $ é simplesmente a linha onde $ y = 0 $. A função $ y = x^3 $ é uma curva que passa pelo ponto (0,0) e sobe para a direita.
Passo 3
Para encontrar a área entre $ x = 1 $ e $ x = 3 $, abaixo da curva $ y = x^3 $ e acima do eixo $ Ox $, vamos usar uma integral definida. A integral definida nos dá a área sob uma curva entre dois pontos no eixo $ x $.
Passo 4
A fórmula para calcular a área $ A $ é:
Onde $ a $ e $ b $ são os limites de integração (neste caso, 1 e 3), e $ f(x) $ é a função que define o limite superior da área (neste caso, $ x^3 $).
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 6
A integral de $ x^3 $ em relação a $ x $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, o $ C $ não é necessário.
Passo 7
Vamos agora calcular a integral definida de 1 a 3:
Isso significa que vamos avaliar $ \frac{x^4}{4} $ em $ x = 3 $ e em $ x = 1 $ e então subtrair os dois resultados.
Passo 8
Calculando em $ x = 3 $:
E em $ x = 1 $:
Passo 9
Agora, subtraímos os dois valores:
Resposta
A área do conjunto $ A $ é 20 unidades quadradas.