Sendo P(x) um polinomio do 2º grau tal que P(-3) = 6. P(0) = 2 e P(2) = 1 determine esse polinomio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de segundo grau, que é do tipo $ P(x) = ax^2 + bx + c $, que passa por três pontos específicos: $ P(-3) = 6 $, $ P(0) = 2 $ e $ P(2) = 1 $. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra para descobrir os valores de $ a $, $ b $ e $ c $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de segundo grau geral tem a forma:
P(x) = ax^2 + bx + c
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que precisamos determinar. Como temos três pontos que o polinômio passa, podemos montar três equações para resolver esses coeficientes.

Passo 3

Vamos usar o ponto $ P(-3) = 6 $. Substituindo na fórmula do polinômio:
P(-3) = 6
6 = a(-3)^2 + b(-3) + c

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto $ P(0) = 2 $:
P(0) = 2
2 = a(0)^2 + b(0) + c
Isso já nos dá o valor de $ c $!

Passo 5

Por último, usamos o ponto $ P(2) = 1 $:
P(2) = 1
1 = a(2)^2 + b(2) + c
Como já sabemos que $ c = 2 $, podemos substituir:
1 = 4a + 2b + c
c = 2

Passo 6

Agora, temos duas equações com $ a $ e $ b $:
  1. $ 9a - 3b = 4 $ (da Passo 3)
  2. $ 4a + 2b = -1 $ (da Passo 5)
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
a
Daí, podemos isolar $ b $:
b

Passo 7

Substituindo $ b $ na primeira equação:
b
9a - 3(-0.5 - 2a) = 4
9a + 1.5 + 6a = 4
15a + 1.5 = 4
15a = 2.5
a = 2.515

Passo 8

Agora que temos $ a = \frac{1}{6} $, podemos encontrar $ b $ usando a equação do Passo 6:
a = 16
b
b = -0.5 - 2 ( 16 )
b = -0.5 - 26
b = -0.5 - 13

Resposta

Portanto, o polinômio que satisfaz as condições dadas é:
P(x) = 16x^2 - 56x + 2

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