Sendo P(x) um polinomio do 2º grau tal que P(-3) = 6. P(0) = 2 e P(2) = 1 determine esse polinomio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio de segundo grau, que é do tipo $ P(x) = ax^2 + bx + c $, que passa por três pontos específicos: $ P(-3) = 6 $, $ P(0) = 2 $ e $ P(2) = 1 $. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra para descobrir os valores de $ a $, $ b $ e $ c $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de segundo grau geral tem a forma:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que precisamos determinar. Como temos três pontos que o polinômio passa, podemos montar três equações para resolver esses coeficientes.
Passo 3
Vamos usar o ponto $ P(-3) = 6 $. Substituindo na fórmula do polinômio:
Passo 4
Agora, vamos usar o ponto $ P(0) = 2 $:
Isso já nos dá o valor de $ c $!
Passo 5
Por último, usamos o ponto $ P(2) = 1 $:
Como já sabemos que $ c = 2 $, podemos substituir:
Passo 6
Agora, temos duas equações com $ a $ e $ b $:
- $ 9a - 3b = 4 $ (da Passo 3)
- $ 4a + 2b = -1 $ (da Passo 5)
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
Daí, podemos isolar $ b $:
Passo 7
Substituindo $ b $ na primeira equação:
Passo 8
Agora que temos $ a = \frac{1}{6} $, podemos encontrar $ b $ usando a equação do Passo 6:
Resposta
Portanto, o polinômio que satisfaz as condições dadas é: