Determinar as equações das retas (t) tangentes à circunferência x2 + y2 + 2x - 3 = 0 e que passam pelo ponto P(5, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangentes à circunferência dada pela equação x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0 que passam pelo ponto P(5, 2). Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação da circunferência num formato mais fácil de trabalhar. A equação que temos é x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0. Vamos completar o quadrado para achar o centro e o raio da circunferência.

Passo 3

Completando o quadrado:
x^2 + 2x + y^2 = 3
Adicionar e subtrair 1 em relação a x:
(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 3 + 1
Então,
(x + 1)^2 + y^2 = 4
Agora, sabemos que o centro da circunferência é (-1, 0) e o raio é 2, já que 4 = 2^2.

Passo 4

Agora, vamos achar as retas que passam pelo ponto P(5, 2) e são tangentes à circunferência. Sabemos que para uma reta ser tangente, a distância dela ao centro da circunferência deve ser igual ao raio.
Vamos supor que a equação da reta seja y = mx + b. Como a reta passa por P(5, 2), podemos substituir esses valores na equação:
2 = 5m + b Rightarrow b = 2 - 5m
Então, a equação da reta fica:
y = mx + (2 - 5m)

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A distância entre o centro (-1, 0) e a reta y = mx + b deve ser igual ao raio 2:
Simplificando o numerador:
|m(-1) - 0 + (2 - 5m)|raizm^2 + 1 = 2
Então,
| -m + 2 - 5m | = |2 - 6m|
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
|2 - 6m|raizm^2 + 1 = 2
Desenvolvendo o quadrado:
(2 - 6m)^2m^2 + 1 = 4
Multiplicando ambos os lados por 4 - 24m + 36m^2m^2 + 1 = 4 :
m^2 + 1
Simplificando:
4 - 24m + 36m^2 = 4m^2 + 4
Fatorando:
32m^2 - 24m = 0
Então, temos duas soluções: 8m(4m - 3) = 0 e m = 0.

Passo 6

Agora, vamos achar os valores de b para cada m:
  1. Para m = 0:
b = 2 - 5(0) = 2
A equação da reta é:
y = 0x + 2 Rightarrow y = 2
  1. Para m = 34:
b = 2 - 5(34) = 2 - 154 = 8 - 154 = -74
A equação da reta é:
y = 34x - 74

Resposta

As equações das retas tangentes à circunferência x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0 que passam pelo ponto P(5, 2) são:
y = 2
e
y = 34x - 74

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