Determinar as equações das retas (t) tangentes à circunferência x2 + y2 + 2x - 3 = 0 e que passam pelo ponto P(5, 2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangentes à circunferência dada pela equação
que passam pelo ponto
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação da circunferência num formato mais fácil de trabalhar. A equação que temos é
. Vamos completar o quadrado para achar o centro e o raio da circunferência.
Passo 3
Completando o quadrado:
Adicionar e subtrair 1 em relação a
:
Então,
Agora, sabemos que o centro da circunferência é
e o raio é
, já que
.
Passo 4
Agora, vamos achar as retas que passam pelo ponto
e são tangentes à circunferência. Sabemos que para uma reta ser tangente, a distância dela ao centro da circunferência deve ser igual ao raio.
Vamos supor que a equação da reta seja
. Como a reta passa por
, podemos substituir esses valores na equação:
Então, a equação da reta fica:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A distância entre o centro
e a reta
deve ser igual ao raio
:
Simplificando o numerador:
Então,
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Desenvolvendo o quadrado:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Fatorando:
Então, temos duas soluções:
e
.
Passo 6
Agora, vamos achar os valores de
para cada
:
- Para
:
A equação da reta é:
- Para
:
A equação da reta é:
Resposta
As equações das retas tangentes à circunferência
que passam pelo ponto
são:
e