Determine a taxa de crescimento da função f ( x ) = x 3 + 4 x 2 + 2 , em função de x, no ponto x=2
Passo 1
Beleza, a gente tem que descobrir a taxa de crescimento da função $ f(x) = x^3 + 4x^2 + 2 $ no ponto $ x = 2 $. Isso significa que vamos calcular a derivada dessa função nesse ponto específico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como aplicá-las em funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a $ x $. No caso de funções polinomiais, a derivada é obtida aplicando a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Passo 3
Aplicando a regra do poder na nossa função $ f(x) = x^3 + 4x^2 + 2 $, vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de $ x^3 $ é $ 3x^2 $.
- A derivada de $ 4x^2 $ é $ 4 \cdot 2x = 8x $.
- A derivada de uma constante, como 2, é 0.
Então, a derivada da função $ f(x) $ fica:
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos calcular o valor dela no ponto $ x = 2 $. Substituindo 2 na expressão da derivada:
Resposta
A taxa de crescimento da função no ponto $ x = 2 $ é 28.