- A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá um quadrado de lado
e pede “a área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita” a esse quadrado.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- lado do quadrado:
. - queremos a área da região entre a circunferência circunscrita (que passa pelos vértices do quadrado) e a circunferência inscrita (que toca os quatro lados do quadrado).
Passo 2
Para encontrar a área da coroa precisamos das áreas das duas circunferências e subtrair: área da coroa
área da circunscrita
área da inscrita.
Primeiro vamos achar os raios dessas circunferências.
Primeiro vamos achar os raios dessas circunferências.
- Raio da circunscrita: é a metade da diagonal do quadrado. A diagonal de um quadrado de lado
vale (teorema de Pitágoras no triângulo formado por dois lados adjacentes). Aqui , então a diagonal é . Logo o raio da circunscrita é
- Raio da inscrita: é a metade do lado (a circunferência inscrita toca cada lado no seu ponto médio), então
Passo 3
Agora a fórmula básica que usamos: a área de um círculo de raio
é
onde
é a área e
o raio. Vou aplicar isso para cada círculo.
Calculemos primeiro
:
Portanto a área da circunscrita é
Passo 4
Agora
:
Então a área da inscrita é
Passo 5
A área da coroa (região entre as duas circunferências) é
Fatorando
:
Logo o valor obtido coincide com
.
Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
d)