1. A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é
    a) \frac{3 \sqrt{2}}{2}
    b) \frac{3}{2}
    c) 2 \pi
    d) \frac{9 \pi}{4}

Passo 1

O enunciado dá um quadrado de lado 3 e pede “a área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita” a esse quadrado.
Informações relevantes fornecidas:
  • lado do quadrado: 3.
  • queremos a área da região entre a circunferência circunscrita (que passa pelos vértices do quadrado) e a circunferência inscrita (que toca os quatro lados do quadrado).

Passo 2

Para encontrar a área da coroa precisamos das áreas das duas circunferências e subtrair: área da coroa = área da circunscrita - área da inscrita.
Primeiro vamos achar os raios dessas circunferências.
  • Raio da circunscrita: é a metade da diagonal do quadrado. A diagonal de um quadrado de lado s vale \,s\sqrt{2}\, (teorema de Pitágoras no triângulo formado por dois lados adjacentes). Aqui s=3, então a diagonal é 3\sqrt{2}. Logo o raio da circunscrita é
r_{\text{out}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
  • Raio da inscrita: é a metade do lado (a circunferência inscrita toca cada lado no seu ponto médio), então
r_{\text{in}}=\frac{3}{2}.

Passo 3

Agora a fórmula básica que usamos: a área de um círculo de raio r é
A=\pi r^{2},
onde A é a área e r o raio. Vou aplicar isso para cada círculo.
Calculemos primeiro r_{\text{out}}^{2}:
r_{\text{out}}^{2}=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{9\cdot 2}{4}=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}.
Portanto a área da circunscrita é
A_{\text{out}}=\pi r_{\text{out}}^{2}=\pi\cdot\frac{9}{2}=\frac{9\pi}{2}.

Passo 4

Agora r_{\text{in}}^{2}:
r_{\text{in}}^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}.
Então a área da inscrita é
A_{\text{in}}=\pi r_{\text{in}}^{2}=\pi\cdot\frac{9}{4}=\frac{9\pi}{4}.

Passo 5

A área da coroa (região entre as duas circunferências) é
A_{\text{coroa}}=A_{\text{out}}-A_{\text{in}}=\frac{9\pi}{2}-\frac{9\pi}{4}.
Fatorando \frac{9\pi}{4}:
\frac{9\pi}{2}-\frac{9\pi}{4}=\frac{9\pi}{4}\!\left(2-1\right)=\frac{9\pi}{4}.
Logo o valor obtido coincide com \frac{9\pi}{4}.
Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) \frac{9\pi}{4}

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