1. Se o lado do hexágono regular inscrito num círculo mede 10 cm , então a área deste círculo mede, em \mathrm{cm}^{2}
    a) 25 \pi
    b) 100 \pi
    c) 20 \pi
    d) 50 \pi

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação: um hexágono regular está inscrito em um círculo e o lado do hexágono mede 10 cm.
  • Informação: opções de resposta para a área do círculo são:
    a) 25\pi
    b) 100\pi
    c) 20\pi
    d) 50\pi
  • Pergunta: qual é a área do círculo, em \mathrm{cm}^2?

Passo 2

Vou explicar como relacionar o lado do hexágono ao raio do círculo. Desenhe (mentalmente ou no rascunho) o hexágono regular inscrito no círculo e ligue o centro do círculo aos seis vértices. Isso forma 6 triângulos congruentes, cada um com vértices: centro — vértice i — vértice i+1.
Cada um desses triângulos tem dois lados iguais que são raios do círculo. Ou seja, em cada triângulo, os dois lados que vão do centro até dois vértices valem R (o raio do círculo). O terceiro lado desse triângulo é justamente um lado do hexágono, que vale 10 cm (dado).
O hexágono regular tem 6 vértices igualmente espaçados, então o ângulo central correspondente a cada triângulo vale
\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.
Portanto, cada triângulo formado pelos dois raios e um lado do hexágono é um triângulo isósceles com ângulo no vértice central igual a 60^\circ e lados iguais R,R.

Passo 3

Num triângulo isósceles cujo ângulo entre os lados iguais é 60^\circ, os outros dois ângulos somam 120^\circ e, sendo iguais, cada um vale 60^\circ. Logo os três ângulos são 60^\circ,60^\circ,60^\circ: o triângulo é equilátero. Em um triângulo equilátero todos os lados são iguais, então o lado do hexágono (que é a base desse triângulo) é igual ao raio:
\text{lado do hexágono} = R.á
Usando o dado do enunciado, temos
R = 10\\ \text{cm}.

Passo 4

A área de um círculo é dada pela fórmula
A=\pi R^{2},
onde A é a área (em \mathrm{cm}^2) e R é o raio (em \mathrm{cm}). Aqui explicando: \pi é a constante geométrica aproximadamente 3{,}1415\ldots; R^{2} significa R multiplicado por R.
Substituindo R=10 na fórmula da área:
A=\pi \cdot 10^{2}=\pi \cdot 100=100\pi.

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, a opção correta é a letra b).

Resposta

b) 100\pi

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