- Se o lado do hexágono regular inscrito num círculo mede 10 cm , então a área deste círculo mede, em
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação: um hexágono regular está inscrito em um círculo e o lado do hexágono mede
cm. - Informação: opções de resposta para a área do círculo são:
a)
b)
c)
d) - Pergunta: qual é a área do círculo, em
?
Passo 2
Vou explicar como relacionar o lado do hexágono ao raio do círculo. Desenhe (mentalmente ou no rascunho) o hexágono regular inscrito no círculo e ligue o centro do círculo aos seis vértices. Isso forma 6 triângulos congruentes, cada um com vértices: centro — vértice i — vértice i+1.
Cada um desses triângulos tem dois lados iguais que são raios do círculo. Ou seja, em cada triângulo, os dois lados que vão do centro até dois vértices valem (o raio do círculo). O terceiro lado desse triângulo é justamente um lado do hexágono, que vale
cm (dado).
O hexágono regular tem 6 vértices igualmente espaçados, então o ângulo central correspondente a cada triângulo vale
Cada um desses triângulos tem dois lados iguais que são raios do círculo. Ou seja, em cada triângulo, os dois lados que vão do centro até dois vértices valem
O hexágono regular tem 6 vértices igualmente espaçados, então o ângulo central correspondente a cada triângulo vale
Portanto, cada triângulo formado pelos dois raios e um lado do hexágono é um triângulo isósceles com ângulo no vértice central igual a
e lados iguais
.
Passo 3
Num triângulo isósceles cujo ângulo entre os lados iguais é
, os outros dois ângulos somam
e, sendo iguais, cada um vale
. Logo os três ângulos são
: o triângulo é equilátero. Em um triângulo equilátero todos os lados são iguais, então o lado do hexágono (que é a base desse triângulo) é igual ao raio:
Usando o dado do enunciado, temos
Passo 4
A área de um círculo é dada pela fórmula
onde
é a área (em
) e
é o raio (em
). Aqui explicando:
é a constante geométrica aproximadamente
;
significa
multiplicado por
.
Substituindo na fórmula da área:
Substituindo
Passo 5
Comparando com as alternativas dadas, a opção correta é a letra b).
Resposta
b)