1. Um hexágono regular de perímetro 12 está inscrito em um circulo. O perímetro do quadrado inscrito nesse círculo é
    a) \sqrt{2}
    b) 2 \sqrt{2}
    c) 4 \sqrt{2}
    d) 6 \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado dá um hexágono regular inscrito num círculo cujo perímetro é 12. Pede-se o perímetro do quadrado inscrito nesse mesmo círculo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Perímetro do hexágono regular: 12.
  • O hexágono e o quadrado estão inscritos no mesmo círculo (mesmo raio).
    A partir disso precisamos determinar o raio do círculo e, com ele, o lado do quadrado inscrito para então calcular seu perímetro.

Passo 2

Calcular o lado do hexágono regular. Como o hexágono é regular, tem 6 lados iguais; chamando esse lado de s_h temos
s_h=\frac{12}{6}=2.
Isto significa que cada lado do hexágono mede 2.

Passo 3

Relacionar o lado do hexágono com o raio do círculo. Considere o triângulo formado por dois raios consecutivos e o lado do hexágono entre as vértices correspondentes. O ângulo central correspondente a um lado do hexágono é
\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.
Esse triângulo tem dois lados iguais (dois raios) e ângulo entre eles de 60^\circ, portanto é um triângulo equilátero: todos os três lados têm o mesmo comprimento. Logo, o comprimento do lado do hexágono é igual ao raio r do círculo. Assim
r=s_h=2.
(Outra forma de ver isso é usar a fórmula do comprimento de corda: \text{corda}=2r\sin(\theta/2); aqui \theta=60^\circ \text{corda}=2r\sin30^\circ=r.)

Passo 4

Determinar a diagonal do quadrado inscrito. O quadrado inscrito tem suas quatro vértices na circunferência, portanto a diagonal do quadrado é um diâmetro do círculo. O diâmetro vale o dobro do raio, então
d=2r=2\cdot 2=4.

Passo 5

Relacionar a diagonal do quadrado com o lado do quadrado. Em um quadrado, pela relação de Pitágoras aplicada a um triângulo retângulo formado por dois lados e a diagonal, tem-se
d^2 = s_q^2 + s_q^2 = 2s_q^2,
onde s_q é o lado do quadrado. Assim
s_q = \frac{d}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Calcular o lado do quadrado usando d=4:
s_q=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.
Expliquei a simplificação racionalizando o denominador: dividir por \sqrt{2} é equivalente a multiplicar por \sqrt{2}/\sqrt{2}.

Passo 7

Calcular o perímetro do quadrado. O perímetro P_q é quatro vezes o lado:
P_q=4s_q=4\cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{2}.

Resposta

8\sqrt{2}

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