- Um hexágono regular de perímetro 12 está inscrito em um circulo. O perímetro do quadrado inscrito nesse círculo é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá um hexágono regular inscrito num círculo cujo perímetro é
. Pede-se o perímetro do quadrado inscrito nesse mesmo círculo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Perímetro do hexágono regular:
. - O hexágono e o quadrado estão inscritos no mesmo círculo (mesmo raio).
A partir disso precisamos determinar o raio do círculo e, com ele, o lado do quadrado inscrito para então calcular seu perímetro.
Passo 2
Calcular o lado do hexágono regular. Como o hexágono é regular, tem
lados iguais; chamando esse lado de
temos
Isto significa que cada lado do hexágono mede
.
Passo 3
Relacionar o lado do hexágono com o raio do círculo. Considere o triângulo formado por dois raios consecutivos e o lado do hexágono entre as vértices correspondentes. O ângulo central correspondente a um lado do hexágono é
Esse triângulo tem dois lados iguais (dois raios) e ângulo entre eles de
, portanto é um triângulo equilátero: todos os três lados têm o mesmo comprimento. Logo, o comprimento do lado do hexágono é igual ao raio
do círculo. Assim
(Outra forma de ver isso é usar a fórmula do comprimento de corda:
; aqui
dá
.)
Passo 4
Determinar a diagonal do quadrado inscrito. O quadrado inscrito tem suas quatro vértices na circunferência, portanto a diagonal do quadrado é um diâmetro do círculo. O diâmetro vale o dobro do raio, então
Passo 5
Relacionar a diagonal do quadrado com o lado do quadrado. Em um quadrado, pela relação de Pitágoras aplicada a um triângulo retângulo formado por dois lados e a diagonal, tem-se
onde
é o lado do quadrado. Assim
Passo 6
Calcular o lado do quadrado usando
:
Expliquei a simplificação racionalizando o denominador: dividir por
é equivalente a multiplicar por
.
Passo 7
Calcular o perímetro do quadrado. O perímetro
é quatro vezes o lado: