1. O círculo inscrito e o círculo circunscrito a um triângulo equilátero de lado a, formam uma coroa circular de área
    a) \pi a^{2}
    b) \frac{\pi a^{2}}{3}
    c) \frac{\pi a^{2}}{2}
    d) \frac{\pi a^{2}}{4}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero de lado a e pede a área da coroa circular formada pelo círculo circunscrito e pelo círculo inscrito nesse triângulo.
Informações relevantes que o enunciado fornece e o que é pedido:
  • Dado: triângulo equilátero com lado a.
  • Deve-se calcular: área da coroa circular = área do círculo circunscrito − área do círculo inscrito.
  • Resultado esperado: escolher entre as alternativas (a), (b), (c) ou (d).

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os raios dos dois círculos: o raio do círculo circunscrito (circunrádio) R e o raio do círculo inscrito (inrádio) r. Para isso vou calcular a altura do triângulo equilátero e usar propriedades geométricas simples. Considere dividir o triângulo equilátero por uma bissetriz/mediana que parte de um vértice até o lado oposto; isso forma um triângulo retângulo de catetos \tfrac{a}{2} e a altura h. Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo, obtemos:
h^{2}=\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}+h^{2}-\text{(não confundir: estamos só usando Pitágoras no triângulo retângulo)}ãóáââ
Vou reescrever corretamente o que fazemos: no triângulo retângulo formado pela mediana,
h^{2}=\left(\tfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^{2}
Mas isso está redundante. Melhor: calcular diretamente a altura conhecendo o triângulo 30–60–90. No triângulo equilátero a altura vale
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.

Passo 3

Agora preciso relacionar h com R e r. Num triângulo equilátero o centro do triângulo (baricentro), o circuncentro e o incentro coincidem: ou seja, o mesmo ponto está equidistante dos vértices (distância R) e das três arestas (distância r). Além disso, essa interseção fica ao longo da mediana a uma distância de \tfrac{2}{3} de h a partir do vértice e de \tfrac{1}{3} de h a partir do lado. Portanto:
R=\frac{2}{3}\,h
r=\frac{1}{3}\,h

Passo 4

Substituo h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,a nas fórmulas de R e r. Primeiro R:
R=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,a=\frac{\sqrt{3}}{3}\,a=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Agora r:
r=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,a=\frac{\sqrt{3}}{6}\,a=\frac{a}{2\sqrt{3}}.

Passo 5

A área da coroa circular é a diferença entre as áreas dos dois círculos:
\text{Área}=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr).Á

Passo 6

Calculo R^{2} e r^{2} usando as expressões achadas:
R^{2}=\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{3},
r^{2}=\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{12}.
Subtraindo:
R^{2}-r^{2}=\frac{a^{2}}{3}-\frac{a^{2}}{12}=\left(\frac{4}{12}-\frac{1}{12}\right)a^{2}=\frac{3}{12}a^{2}=\frac{a^{2}}{4}.

Passo 7

Portanto a área da coroa é
\text{Área}=\pi\cdot\frac{a^{2}}{4}=\frac{\pi a^{2}}{4}.Á
Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) \displaystyle \frac{\pi a^{2}}{4}

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