- O círculo inscrito e o círculo circunscrito a um triângulo equilátero de lado a, formam uma coroa circular de área
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá um triângulo equilátero de lado
e pede a área da coroa circular formada pelo círculo circunscrito e pelo círculo inscrito nesse triângulo.
Informações relevantes que o enunciado fornece e o que é pedido:
Informações relevantes que o enunciado fornece e o que é pedido:
- Dado: triângulo equilátero com lado
. - Deve-se calcular: área da coroa circular = área do círculo circunscrito − área do círculo inscrito.
- Resultado esperado: escolher entre as alternativas (a), (b), (c) ou (d).
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar os raios dos dois círculos: o raio do círculo circunscrito (circunrádio)
e o raio do círculo inscrito (inrádio)
. Para isso vou calcular a altura do triângulo equilátero e usar propriedades geométricas simples. Considere dividir o triângulo equilátero por uma bissetriz/mediana que parte de um vértice até o lado oposto; isso forma um triângulo retângulo de catetos
e a altura
. Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo retângulo, obtemos:
Vou reescrever corretamente o que fazemos: no triângulo retângulo formado pela mediana,
Mas isso está redundante. Melhor: calcular diretamente a altura conhecendo o triângulo 30–60–90. No triângulo equilátero a altura vale
Passo 3
Agora preciso relacionar
com
e
. Num triângulo equilátero o centro do triângulo (baricentro), o circuncentro e o incentro coincidem: ou seja, o mesmo ponto está equidistante dos vértices (distância
) e das três arestas (distância
). Além disso, essa interseção fica ao longo da mediana a uma distância de
de
a partir do vértice e de
de
a partir do lado. Portanto:
Passo 4
Substituo
nas fórmulas de
e
. Primeiro
:
Agora
:
Passo 5
A área da coroa circular é a diferença entre as áreas dos dois círculos:
Passo 6
Calculo
e
usando as expressões achadas:
Subtraindo:
Passo 7
Portanto a área da coroa é
Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)