1. A área de um setor circular de 210^{\circ} e de raio 3 cm é
    a) \frac{9 \pi}{2}
    b) \frac{15 \pi}{4}
    c) 8 \pi
    d) \frac{21 \pi}{4}

Passo 1

O enunciado dá um setor circular com ângulo \,210^\circ, e raio \,3\\ \text{cm}\, e pede a sua área. As alternativas fornecidas são:
a) \,\frac{9\pi}{2}\,
b) \,\frac{15\pi}{4}\,
c) \,8\pi\,
d) \,\frac{21\pi}{4}\,

Passo 2

Entender a fórmula: a área de um setor é a fração da área do círculo completo que corresponde ao ângulo do setor. A área do círculo inteiro é \pi r^2. Se o setor tem ângulo \theta (em graus), a fração é \theta/360^\circ. Portanto a fórmula é
\text{Área do setor}=\frac{\theta}{360^\circ}\,\pi r^2.Á
Aqui \theta é o ângulo do setor em graus e r é o raio do círculo. Essa fórmula vem da ideia simples: setor corresponde a \theta/360^\circ partes do círculo inteiro.

Passo 3

Aplicando a fórmula com \theta=210^\circ e r=3:
Calcule primeiro r^2:
r^2=3^2=9.
Substituindo:
\text{Área}=\frac{210}{360}\,\pi\cdot 9.Á
Agora simplificamos a fração \frac{210}{360}. Dividindo numerador e denominador por 30 obtemos \frac{7}{12}. Então:
\text{Área}=\frac{7}{12}\,\pi\cdot 9=\frac{63}{12}\pi.Á
Dividindo numerador e denominador por 3 dá:
\text{Área}=\frac{21}{4}\pi.Á

Passo 4

(Confirmação alternativa usando radianos) Converter o ângulo para radianos: \,210^\circ=210\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}\,. A fórmula em radianos para área do setor é \,\text{Área}=\tfrac{1}{2}r^2\theta\,Á. Substituindo:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\cdot 9\cdot \frac{7\pi}{6}=\frac{9}{2}\cdot\frac{7\pi}{6}=\frac{63}{12}\pi=\frac{21}{4}\pi,Á
mesmo resultado — ótima checagem!

Passo 5

Cheque de consistência rápido: área do círculo inteiro é \pi r^2=9\pi. O setor de 210^\circ é maior que metade do círculo (mais que 180^\circ), então sua área deve ser maior que \tfrac{9\pi}{2}=4{,}5\pi. Nosso resultado \tfrac{21}{4}\pi=5{,}25\pi satisfaz isso, portanto faz sentido.

Resposta

d) \frac{21\pi}{4}

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