Área entre curvas
Determine a área da região triangular no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y=e^2 x, abaixo pela curva y=e^x e à direita pela reta x=ln 3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no 1º quadrante limitada acima por y=e^2x, abaixo por y=e^x e à direita por x=ln3. Vamos usar cálculo de área entre curvas, montando uma integral definida de x de um ponto inicial até x=ln3.

Passo 2

Para achar o ponto inicial, igualamos as curvas e^2x=e^x. Isso dá 2x=x, logo x=0. O ponto de interseção é (0,1), e o domínio em x vai de 0 até ln3.

Passo 3

A área entre duas curvas f(x) (superior) e g(x) (inferior) de a a b é dada por
A=integrala^bl(f(x)-g(x)r),dx
Aqui temos f(x)=e^2x e g(x)=e^x, então
A=integral0^ln3l(e^2x-e^xr),dx

Passo 4

Agora vamos achar as primitivas:
integral e^2x,dx=tfrac12e^2x, integral e^x,dx=e^x
Portanto, uma primitiva do integrando é tfrac12e^2x-e^x.

Passo 5

Avaliando de 0 a ln3:
A=l[tfrac12e^2x-e^xr]0^ln3 =l(tfrac12cdot9-3r)-l(tfrac12cdot1-1r) =l(tfrac92-3r)-l(tfrac12-1r) =tfrac32+tfrac12=2

Resposta

2

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