Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e curvas nos exercícios 73-80.
x=y^2 e x=y+2

Passo 1

Temos a região limitada pelas curvas x = y^2 e x = y + 2. O conteúdo aqui é cálculo de área de região no plano via integração. Para resolver, vamos achar os pontos de interseção, definir os limites de integração em y e montar a integral de área.

Passo 2

Igualando as duas expressões de x para encontrar os valores de y em que as curvas se intersectam, temos
y^2 = y + 2
que se reorganiza em
y^2 - y - 2 = 0
Fatorando, (y - 2)(y + 1) = 0, obtemos y = -1 e y = 2. Portanto, y varia de -1 a 2.

Passo 3

A área da região é dada pelo método de fatias verticais. Cada elemento de área tem largura xdireita - xesquerda e espessura dy. Assim,
A = integraly=-1^2 l[(y + 2) - y^2r] , dy

Passo 4

Para calcular a integral, primeiro simplificamos o integrando:
(y + 2) - y^2 = -y^2 + y + 2
As antiderivadas termo a termo são:
integral -y^2 , dy = -tfrac13y^3, integral y , dy = tfrac12y^2, integral 2 , dy = 2y
Logo a primitiva é
F(y) = -tfrac13y^3 + tfrac12y^2 + 2y

Passo 5

Agora avaliamos F(y) nos limites de integração. Para y = 2:
F(2) = -tfrac13 cdot 8 + tfrac12 cdot 4 + 2 cdot 2 = -tfrac83 + 2 + 4 = 6 - tfrac83 = tfrac103
Para y = -1:
F(-1) = -tfrac13(-1)^3 + tfrac12(-1)^2 + 2(-1) = tfrac13 + tfrac12 - 2 = -tfrac76
Subtraindo, a área é
A = F(2) - F(-1) = tfrac103 - l(-tfrac76r) = tfrac206 + tfrac76 = tfrac276 = tfrac92

Resposta

tfrac92

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