Área entre curvas
Determine a área da região triangular no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo y e à direita pelas curvas y=sen x e y=cos x.

Passo 1

Temos uma região no primeiro quadrante limitada à esquerda pelo eixo y (x=0), acima pela curva y=cos x e abaixo pela curva y=sen x. O objetivo é calcular a área dessa região usando integrais definidas entre curvas, para isso vamos precisar achar o ponto de interseção das duas funções e montar a integral da diferença delas.

Passo 2

Para encontrar onde sen x e cos x se intersectam, igualamos as funções: sen x = cos x. Isso implica tan x = 1, cujas soluções no primeiro quadrante dão x = π/4.

Passo 3

No intervalo [0, π/4] temos cos x ≥ sen x, portanto a área A é dada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior:
A = integral0^pi4 (cos x - sin x),dx

Passo 4

Calculamos a integral usando primitivas conhecidas:
A primitiva de cos x é sin x e a de sin x é -cos x. Logo, uma primitiva de (cos x - sin x) é sin x + cos x.

Passo 5

Avaliando a primitiva nos limites de integração:
A = l[sin x + cos xr]0^pi4 = (sintfracpi4 + costfracpi4) - (sin 0 + cos 0) = tfracraiz22 + tfracraiz22 - 1 = raiz2 - 1

Resposta

raiz2 - 1

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