Área entre curvas
Determine a área da região triangular no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo
e à direita pelas curvas
e
.
Determine a área da região triangular no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo
Passo 1
Temos uma região no primeiro quadrante limitada à esquerda pelo eixo y (x=0), acima pela curva y=cos x e abaixo pela curva y=sen x. O objetivo é calcular a área dessa região usando integrais definidas entre curvas, para isso vamos precisar achar o ponto de interseção das duas funções e montar a integral da diferença delas.
Passo 2
Para encontrar onde sen x e cos x se intersectam, igualamos as funções: sen x = cos x. Isso implica tan x = 1, cujas soluções no primeiro quadrante dão x = π/4.
Passo 3
No intervalo [0, π/4] temos cos x ≥ sen x, portanto a área A é dada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior:
Passo 4
Calculamos a integral usando primitivas conhecidas:
A primitiva de cos x é sin x e a de sin x é -cos x. Logo, uma primitiva de (cos x - sin x) é sin x + cos x.
A primitiva de cos x é sin x e a de sin x é -cos x. Logo, uma primitiva de (cos x - sin x) é sin x + cos x.
Passo 5
Avaliando a primitiva nos limites de integração: