Encontre todas as derivadas mistas de segunda ordem (nos pontos admissíveis) e verifique o Teorema de Schwarz para as funções:
f(x, y, z)=e^x^2 y z^3(y+z x^2).

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=e{x{2}yz^{3}}(y+z x^{2}). O objetivo é encontrar todas as derivadas parciais mistas de segunda ordem e verificar o Teorema de Schwarz. Vamos usar as regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Definimos u=x^2yz^3 e v=y+z x^2, de modo que f=e^uv. Calculamos primeiro as derivadas de u e v:
ux=2x y z^3, uy=x^2z^3, uz=3x^2y z^2,
$$v_x=2z x,\quad v_y=1,\quad v_z=x^{2}.
vx=2z x, vy=1, vz=x^2 f_x=e^{u}(u_x v+v_x)=e{x{2}yz^{3}}\bigl(2x y z^{3}(y+z x^{2})+2z x\bigr),$$
fx=e^u(ux v+vx)=e^x^2yz^3l(2x y z^3(y+z x^2)+2z xr),
$$f_z=e^{u}(u_z v+v_z)=e{x{2}yz{3}}\bigl(3x{2}y z^{2}(y+z x{2})+x{2}\bigr).
$$

Passo 3

Para fxy=partialy(fx) tomamos fx=e^uA com A=2x y z^3(y+z x^2)+2z x. Então
Ay=4x y z^3+2x^3z^4,
$$f_{xy}=e^{u}(u_y A+A_y)=e{x{2}yz{3}}\bigl(2x{3}z{6}(y{2}+z x{2}y)+4x{3}z^{4}+4x y z^{3}\bigr).
$$
De modo análogo, derivando fxy=e^u(uy A+Ay)=e^x^2yz^3l(2x^3z^6(y^2+z x^2y)+4x^3z^4+4x y z^3r) em relação a fy=e^uB (onde x) obtemos exatamente o mesmo valor para B=x^2z^3(y+z x^2)+1. Logo fyx.

Passo 4

Para fxz=partialz(fx) usamos novamente fx=e^uA. Calculamos
Az=6x y^2z^2+8x^3y z^3+2x,
$$f_{xz}=e{u}(u_zA+A_z)=e{x{2}yz{3}}\bigl(6x{3}y{3}z{5}+6x{5}y{2}z{6}+14x^{3}y z^{3}+6x y{2}z{2}+2x\bigr).
$$
Derivando fxz=e^u(uzA+Az)=e^x^2yz^3l(6x^3y^3z^5+6x^5y^2z^6+14x^3y z^3+6x y^2z^2+2xr) em relação a fz=e^uC (com x) chega-se ao mesmo resultado para C=3x^2y z^2(y+z x^2)+x^2. Assim fzx.

Passo 5

Para fyz=partialz(fy) tomamos fy=e^uB e achamos
Bz=3x^2z^2y+4x^4z^3,
$$f_{yz}=e{u}(u_zB+B_z)=e{x{2}yz{3}}\bigl(3x{4}y{2}z{5}+3x{6}y z{6}+6x{2}y z{2}+4x{4}z^{3}\bigr).
$$
Por outro lado, derivando fyz=e^u(uzB+Bz)=e^x^2yz^3l(3x^4y^2z^5+3x^6y z^6+6x^2y z^2+4x^4z^3r) em relação a fz=e^uC obtém-se exatamente o mesmo para y. Logo fzy.

Passo 6

Concluímos que em todos os casos as derivadas mistas de segunda ordem coincidem, ou seja, fxy=fyx, fxz=fzx e fyz=fzy, confirmando o Teorema de Schwarz.

Resposta

As derivadas mistas de segunda ordem são:
fxy=e^x^2y z^3l(2x^3z^6(y^2+z x^2y)+4x^3z^4+4x y z^3r),
fxz=e^x^2y z^3l(6x^3y^3z^5+6x^5y^2z^6+14x^3y z^3+6x y^2z^2+2xr),
fyz=e^x^2y z^3l(3x^4y^2z^5+3x^6y z^6+6x^2y z^2+4x^4z^3r)
E verificamos que
fxy=fyx,
fxz=fzx e
fyz=fzy,
confirmando o Teorema de Schwarz.

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