Encontre todas as derivadas mistas de segunda ordem (nos pontos admissíveis) e verifique o Teorema de Schwarz para as funções:
.
Passo 1
Temos a função f(x,y,z)=e{x{2}yz^{3}}(y+z x^{2}). O objetivo é encontrar todas as derivadas parciais mistas de segunda ordem e verificar o Teorema de Schwarz. Vamos usar as regras do produto e da cadeia.
Passo 2
Definimos
e
, de modo que
. Calculamos primeiro as derivadas de
e
:
$$v_x=2z x,\quad v_y=1,\quad v_z=x^{2}.
$$f_z=e^{u}(u_z v+v_z)=e{x{2}yz{3}}\bigl(3x{2}y z^{2}(y+z x{2})+x{2}\bigr).
$$
Passo 3
Para
tomamos
com
. Então
$$f_{xy}=e^{u}(u_y A+A_y)=e{x{2}yz{3}}\bigl(2x{3}z{6}(y{2}+z x{2}y)+4x{3}z^{4}+4x y z^{3}\bigr).
$$
De modo análogo, derivando em relação a
(onde
) obtemos exatamente o mesmo valor para
. Logo
.
De modo análogo, derivando
Passo 4
Para
usamos novamente
. Calculamos
$$f_{xz}=e{u}(u_zA+A_z)=e{x{2}yz{3}}\bigl(6x{3}y{3}z{5}+6x{5}y{2}z{6}+14x^{3}y z^{3}+6x y{2}z{2}+2x\bigr).
$$
Derivando em relação a
(com
) chega-se ao mesmo resultado para
. Assim
.
Derivando
Passo 5
Para
tomamos
e achamos
$$f_{yz}=e{u}(u_zB+B_z)=e{x{2}yz{3}}\bigl(3x{4}y{2}z{5}+3x{6}y z{6}+6x{2}y z{2}+4x{4}z^{3}\bigr).
$$
Por outro lado, derivando em relação a
obtém-se exatamente o mesmo para
. Logo
.
Por outro lado, derivando
Passo 6
Concluímos que em todos os casos as derivadas mistas de segunda ordem coincidem, ou seja,
,
e
, confirmando o Teorema de Schwarz.
Resposta
As derivadas mistas de segunda ordem são:
E verificamos que
,
e
,
confirmando o Teorema de Schwarz.
confirmando o Teorema de Schwarz.