Área de D definido pelo triângulo com vértices (0,0),(2,0),(2,4) usando \iint_{-} \mathrm{D} 1 \mathrm{dA} (e confirme por geometria).

Passo 1

O enunciado pede a área da região D que é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (2,4) usando
\iint_{D}1\,dA
e depois confirmar o valor por um argumento geométrico. O conteúdo envolvido é integral dupla e fórmula de área de triângulo.

Passo 2

Para montar a integral dupla, note que o lado oblíquo liga (0,0) a (2,4). A equação dessa reta é
y = 2x.
Assim, para cada x em [0,2], o y varia de 0 até 2x. Logo
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 2x\}.

Passo 3

Calculando a integral dupla:
\iint_{D}1\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\Bigl(\int_{y=0}^{2x}1\,dy\Bigr)dx =\int_{0}^{2}(2x)\,dx =\bigl[x^{2}\bigr]_{0}^{2} =4.

Passo 4

Pela geometria, a base do triângulo é o segmento horizontal de comprimento
2\quad\bigl((0,0)\to(2,0)\bigr)
e a altura é a distância vertical até (2,4), que vale 4. Então
\text{área}=\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2} =\frac{2\cdot4}{2}=4.á

Resposta

4

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