Volume: sólido S sobre a região \mathrm{R}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): 0 \leq \mathrm{x} \leq 1,0 \leq \mathrm{y} \leq 1\} com altura \mathrm{h}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=3-\mathrm{x}- 2 y . Calcule \mathrm{V}=\iint \_\mathrm{R} \mathrm{h}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mathrm{dA}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S situado sob a superfície
z = h(x,y) = 3 - x - 2y
acima da região
\mathrm{R} = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le 1\}.
O conteúdo envolve integrais duplas e faremos uso do Teorema de Fubini para transformá-lo em integrais iteradas.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, temos
V = \iint_{\mathrm{R}} h(x,y)\,\mathrm{dA} = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} \bigl(3 - x - 2y\bigr)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Integramos primeiro em y:
\int_{y=0}^{1} \bigl(3 - x - 2y\bigr)\,\mathrm{d}y = \bigl[\,3y - x\,y - y^{2}\bigr]_{0}^{1} = (3 - x - 1) - 0 = 2 - x.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{x=0}^{1} (2 - x)\,\mathrm{d}x = \bigl[\,2x - \tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} = \bigl(2 - \tfrac12\bigr) - 0 = \tfrac{3}{2}.

Resposta

O volume é \tfrac{3}{2}.

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