A área de uma determinada região
pode ser calculada pela expressão
Reescreva esta expressão, utilizando:
integração em relação a
;
Reescreva esta expressão, utilizando:
integração em relação a
Passo 1
O enunciado define a região
limitada por duas curvas no plano
: a semicircunferência superior
e a parábola voltada para cima
A área está dada originalmente por
Para reescrever em integração em
, vamos fatiar a região por retas horizontais
e expressar os limites em
.
Passo 2
Primeiro, achamos onde as curvas se intersectam, resolvendo
Quadrando,
Tomando
, obtemos
e a raiz positiva
. Logo
Passo 3
A região
varia em
de
(vértice da parábola em
) até
(topo da semicircunferência em
). Para cada
,
varia entre duas curvas que dependem de
. Em geral,
Passo 4
Precisamos ver qual curva dá o “menor” intervalo em
, ou seja, a fronteira esquerda e direita.
- Para
, a parábola está abaixo da circunferência, mas seu domínio em é mais estreito. Da parábola vem
- Para
, a semicircunferência impõe o limite mais apertado em . Da circunferência temos
Passo 5
Agora quebramos o integral em duas partes conforme esses subintervalos de
:
Simplificando os fatores
: