A área de uma determinada região R pode ser calculada pela expressão
A=integral-raiz22^raiz22(raiz1-x^2-raiz2 x^2) d x
Reescreva esta expressão, utilizando:
integração em relação a y;

Passo 1

O enunciado define a região R limitada por duas curvas no plano xy: a semicircunferência superior
y = raiz1 - x^2
e a parábola voltada para cima
y = raiz2,x^2
A área está dada originalmente por
A ;=;integral-raiz22^raiz22l(raiz1 - x^2;-;raiz2,x^2r),dx
Para reescrever em integração em y, vamos fatiar a região por retas horizontais y=const e expressar os limites em x.

Passo 2

Primeiro, achamos onde as curvas se intersectam, resolvendo
raiz1 - x^2 ;=;raiz2,x^2
Quadrando,
1 - x^2 ;=;2,x^4 Longrightarrow 2x^4 + x^2 -1 = 0
Tomando u=x^2, obtemos 2u^2+u-1=0 e a raiz positiva u=tfrac12. Logo
x = pmraiz22, y0 = raiz1-l(tfracraiz22r)^2 = raiztfrac12 = raiz22

Passo 3

A região R varia em y de ymin=0 (vértice da parábola em x=0) até ymax=1 (topo da semicircunferência em x=0). Para cada yin[0,1], x varia entre duas curvas que dependem de y. Em geral,
A = integraly=0^y=1l(xsup(y) - xinf(y)r),dy

Passo 4

Precisamos ver qual curva dá o “menor” intervalo em x, ou seja, a fronteira esquerda e direita.
  1. Para 0<= y <= tfracraiz22, a parábola está abaixo da circunferência, mas seu domínio em x é mais estreito. Da parábola y=raiz2,x^2 vem
x^2 = yraiz2 Longrightarrow x = pm raizyraiz2
  1. Para tfracraiz22<= y <= 1, a semicircunferência impõe o limite mais apertado em x. Da circunferência y=raiz1-x^2 temos
x^2 = 1 - y^2 Longrightarrow x = pmraiz1 - y^2

Passo 5

Agora quebramos o integral em duas partes conforme esses subintervalos de y:
A = integral0^raiz22 l[l(+raiztfracyraiz2r) -l(-raiztfracyraiz2r)r]dy ;+; integralraiz22^1 l[l(+raiz1 - y^2r) -l(-raiz1 - y^2r)r]dy
Simplificando os fatores 2:
A = 2integral0^raiz22 raizyraiz2;dy ;+; 2integralraiz22^1 raiz1 - y^2;dy

Resposta

boxed A = 2integral0^raiz22 raizyraiz2,dy ;+; 2integralraiz22^1 raiz1 - y^2,dy

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