Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de:
(i) integração em relação a x (ii) integração em relação a y.
y+x=6, y=raizx e y+2=3 x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas
y+x=6, y=raizx, y+2=3x
Vamos proceder em três etapas:
  1. Encontrar os pontos de interseção dessas três curvas.
  2. Calcular a área por integração em x, dividindo em subintervalos onde o limite superior muda.
  3. Repetir o cálculo por integração em y, invertendo as funções e dividindo em subintervalos de y.

Passo 2

Calculamos as interseções par a par:
  1. y+x=6 com y=raizx:
    raizx+x=6;Longrightarrow;t=raizx;Rightarrow;t^2+t-6=0;Rightarrow;t=2;(t=-3 rejeitado)
    Logo x=4, y=2. Ponto P(4,2).
  2. y+x=6 com y+2=3x:
    6-x=3x-2;Longrightarrow;4x=8;Longrightarrow;x=2,;y=4
    Ponto Q(2,4).
  3. y=raizx com y+2=3x:
    raizx=3x-2;Longrightarrow;t=raizx;Rightarrow;t-3t^2+2=0;Rightarrow;3t^2-t-2=0;Rightarrow;t=1
    Logo x=1, y=1. Ponto R(1,1).
Os vértices da região são R(1,1), Q(2,4) e P(4,2).

Passo 3

Para integrar em x, note que em todo o intervalo xin[1,4] o limite inferior é y=raizx, mas o limite superior troca de curva em x=2:
  • Se 1<= x<= 2, o mínimo entre as retas y=6-x e y=3x-2 é y=3x-2.
  • Se 2<= x<= 4, o mínimo é y=6-x.
    Assim a área é
A =integralx=1^2l[(3x-2)-raizxr],dx ;+; integralx=2^4l[(6-x)-raizxr],dx

Passo 4

Calculamos cada termo:
  1. integral1^2(3x-2),dx =l[tfrac3x^22-2xr]1^2 =(6-4)-l(tfrac32-2r) =tfrac52
    integral1^2raizx,dx =l[tfrac23x^3/2r]1^2 =tfrac23(2raiz2-1)
    Logo o primeiro integral vale
    A1 =tfrac52-tfrac23(2raiz2-1) =tfrac196-tfrac4raiz23
  2. integral2^4(6-x),dx =l[6x-tfracx^22r]2^4 =(24-8)-(12-2)=6
    integral2^4raizx,dx =l[tfrac23x^3/2r]2^4 =tfrac23(8-2raiz2) =tfrac163-tfrac4raiz23
    Assim o segundo integral é
    A2 =6-l(tfrac163-tfrac4raiz23r) =tfrac23+tfrac4raiz23
Somando A1+A2 cancela os termos em raiz2 e dá
A=tfrac196+tfrac23=tfrac19+46=tfrac236

Passo 5

Para integrar em y, isolamos x em cada curva:
y+x=6;Longrightarrow;x=6-y, y=raizx;Longrightarrow;x=y^2, y+2=3x;Longrightarrow;x=tfracy+23
O intervalo de y vai de 1 (em R) até 4 (em Q), e o limite direito muda em y=2 (em P). Obtemos
A =integraly=1^2l[y^2-tfracy+23r],dy ;+; integraly=2^4l[(6-y)-tfracy+23r],dy

Passo 6

Cada integral em y dá também 7/6 e 8/3 respectivamente, somando novamente
A=tfrac76+tfrac83=tfrac7+166=tfrac236

Resposta

A área da região é tfrac236

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