Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de:
(i) integração em relação a
(ii) integração em relação a
.
e
.
(i) integração em relação a
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas
Vamos proceder em três etapas:
- Encontrar os pontos de interseção dessas três curvas.
- Calcular a área por integração em
, dividindo em subintervalos onde o limite superior muda. - Repetir o cálculo por integração em
, invertendo as funções e dividindo em subintervalos de .
Passo 2
Calculamos as interseções par a par:
-
com : Logo, . Ponto . -
com : Ponto. -
com : Logo, . Ponto .
Os vértices da região são
,
e
.
Passo 3
Para integrar em
, note que em todo o intervalo
o limite inferior é
, mas o limite superior troca de curva em
:
- Se
, o mínimo entre as retas e é . - Se
, o mínimo é .
Assim a área é
Passo 4
Calculamos cada termo:
-
Logo o primeiro integral vale -
Assim o segundo integral é
Somando
cancela os termos em
e dá
Passo 5
Para integrar em
, isolamos
em cada curva:
O intervalo de
vai de
(em
) até
(em
), e o limite direito muda em
(em
). Obtemos
Passo 6
Cada integral em
dá também
e
respectivamente, somando novamente
Resposta
A área da região é