Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
r=3 cos theta e r=1+cos theta;

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica simultaneamente dentro das curvas
r = 3costheta
e
r = 1 + costheta
em coordenadas polares. Para resolver, vamos:
– Encontrar os ângulos de interseção entre as duas curvas.
– Determinar, em cada intervalo de theta, qual das duas curvas está “por dentro” (menor r).
– Montar a integral polar da área usando A=tfrac12integral r^2,dtheta.

Passo 2

Igualamos as duas equações para achar os ângulos de interseção:
3costheta = 1 + costheta ;Longrightarrow; 2costheta = 1 ;Longrightarrow; costheta = tfrac12 ;Longrightarrow; theta = pm tfracpi3

Passo 3

Ambas as curvas têm r>=0 em thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. Nesse intervalo:
  • Para lvertthetarvert<tfracpi3, tem costheta>tfrac12 e
    3costheta>1+costheta, logo o limite interno é r=1+costheta.
  • Para tfracpi3<lvertthetavert<tfracpi2, tem costheta<tfrac12 e
    3costheta<1+costheta, logo o limite interno é r=3costheta.

Passo 4

Usando a simetria em relação ao eixo theta=0, calculamos a área no quadrante [0,pi/2] e dobramos:
A = 2cdot 12gl[integral0^pi/3(1+costheta)^2dtheta ;+;integralpi/3^pi/2(3costheta)^2dthetagr]
Isso simplifica para
A = integral0^pi/3(1+ costheta)^2dtheta ;+;9integralpi/3^pi/2cos^2theta,dtheta

Passo 5

Calculamos cada integral separadamente:
  1. I1 = integral0^pi/3(1+costheta)^2dtheta.
    Expandindo e usando cos^2theta=tfrac12(1+cos2theta), obtém-se
    I1 = gl[tfrac3theta2 +2sintheta + tfracsin2theta4gr]0^pi/3 = pi2 + 9raiz38
  2. I2 =9integralpi/3^pi/2cos^2theta,dtheta.
    Com a primitiva integralcos^2theta =tfractheta2+tfracsin2theta4, vem
    I2 =9gl[theta2+sin2theta4gr]pi/3^pi/2 = 3pi4 - 9raiz38

Passo 6

Somando I1+I2 cancela-se o termo em raiz3 e resta
A = pi2 + 3pi4 = 5pi4

Resposta

boxed5pi4

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