Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica simultaneamente dentro das curvas
e
em coordenadas polares. Para resolver, vamos:
– Encontrar os ângulos de interseção entre as duas curvas.
– Determinar, em cada intervalo de , qual das duas curvas está “por dentro” (menor
).
– Montar a integral polar da área usando .
– Encontrar os ângulos de interseção entre as duas curvas.
– Determinar, em cada intervalo de
– Montar a integral polar da área usando
Passo 2
Igualamos as duas equações para achar os ângulos de interseção:
Passo 3
Ambas as curvas têm
em
. Nesse intervalo:
- Para
, tem e
, logo o limite interno é . - Para
, tem e
, logo o limite interno é .
Passo 4
Usando a simetria em relação ao eixo
, calculamos a área no quadrante
e dobramos:
Isso simplifica para
Passo 5
Calculamos cada integral separadamente:
-
.
Expandindo e usando, obtém-se -
.
Com a primitiva, vem
Passo 6
Somando
cancela-se o termo em
e resta