A área de uma elipse de equação
x^2a^2+y^2b^2=1
de semi-eixos a e b é pi a b. Utilize isso (ou outro fato geométrico) para calcular a integral
integral-a^a ba raiza^2-x^2 d x

Passo 1

Resumimos o enunciado: devemos calcular a integral abaixo, onde a e b são os semieixos de uma elipse:
integral-a^a baraiza^2 - x^2,dx
Sabemos que a área de uma elipse definida por x^2a^2 + y^2b^2 = 1 é pi a b.

Passo 2

Na elipse, a metade superior é dada por
y(x) = baraiza^2 - x^2,
então o integrando baraiza^2 - x^2 é justamente a ordenada y(x) dessa metade.

Passo 3

A área total da elipse resulta da soma das duas metades, ou seja,
pi a b ;=; 2integral-a^a y(x),dx ;=;2integral-a^a baraiza^2 - x^2,dx
Isolando a integral desejada, obtemos
integral-a^a baraiza^2 - x^2,dx = pi a b2

Resposta

pi a b2

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