Calcule a integral definida integral0^pi|cos (x)| d x.

Passo 1

Então, a missão é calcular integral0^pi|cos(x)|,dx. A sacada aqui é que o valor absoluto faz com que a gente precise cuidar de onde cos(x) muda de sinal. Para isso, vamos descobrir esses pontos e integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Precisamos achar onde cos(x)=0 em [0,pi]. Resolve cos(x)=0, o que dá x=pi2. Logo dividimos a integral em dois trechos: de 0 até pi2 e de pi2 até pi.

Passo 3

Observa o sinal de cos(x) em cada trecho. Em [0,pi2] temos cos(x)>=0, então |cos(x)|=cos(x). Em [pi2,pi] temos cos(x)<=0, então |cos(x)|=-cos(x). Assim:
integral0^pi|cos(x)|,dx = integral0^pi2cos(x),dx + integralpi2^pi-cos(x),dx

Passo 4

A antiderivada de cos(x) é sin(x). Portanto,
integral0^pi2cos(x),dx =l[sin(x)r]0^pi2 =sinl(pi2r)-sin(0) =1
e
integralpi2^pi-cos(x),dx =-l[sin(x)r]pi2^pi =-(sin(pi)-sinl(pi2r)) =1
Somando os dois resultados fica 1+1=2.

Resposta

2

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