Calcule o limite, se existir. Explique suas contas.
lim x 0 1(4+x)^2-116x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão 1(4+x)^2-116x. Esse problema está relacionado ao estudo de limites, uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar manipular frações e simplificar a expressão para conseguir encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite: 1(4+x)^2-116x. Note que se substituirmos x = 0 , tanto o numerador quanto o denominador vão dar 0, resultando em uma forma indeterminada 00 . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para poder calcular o limite.

Passo 3

Vamos começar resolvendo o numerador: 1(4+x)^2 - 116. Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. Sabemos que (4+x)^2 = 16 + 8x + x^2 , mas para simplificar, vamos multiplicar cada fração pelo denominador da outra:
1(4+x)^2 - 116 = 16 - (4+x)^216(4+x)^2

Passo 4

Agora, vamos expandir (4+x)^2 :
(4+x)^2 = 16 + 8x + x^2
Substituindo de volta na expressão:
16 - (16 + 8x + x^2)16(4+x)^2 = 16 - 16 - 8x - x^216(4+x)^2 = -8x - x^216(4+x)^2

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa fração dividida por x :
-8x - x^216(4+x)^2x = -8x - x^216x(4+x)^2 = -x(8 + x)16x(4+x)^2
Aqui, podemos cancelar o x que está no numerador e no denominador:
-(8 + x)16(4+x)^2

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = 0 :
limx to 0 -(8 + x)16(4+x)^2 = -(8 + 0)16(4+0)^2 = -816 times 16 = -8256 = -132

Resposta

O limite é -132.

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