Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Estabeleça seu domínio.
G(t)=ln (t^4-1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função G(t) = ln(t^4 - 1) . Precisamos mostrar que essa função é contínua para todos os números no seu domínio e também determinar qual é esse domínio. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e sobre o domínio das funções logarítmicas.

Passo 2

Vamos começar determinando o domínio da função G(t) = ln(t^4 - 1) . Sabemos que o logaritmo natural ln(x) só está definido para x > 0 . Portanto, o argumento do logaritmo, t^4 - 1 , precisa ser maior que zero:
t^4 - 1 > 0

Passo 3

Resolvendo a inequação t^4 - 1 > 0 , temos:
t^4 > 1
Para encontrar os valores de t que satisfazem isso, tiramos a raiz quarta:
|t| > 1
Ou seja, t > 1 ou t < -1 .

Passo 4

Portanto, o domínio da função G(t) é:
D = t in R | t < -1 ou t > 1

Passo 5

Agora, vamos mostrar que a função G(t) é contínua em todo ponto do seu domínio. Uma função composta é contínua se suas funções componentes são contínuas onde são definidas.

Passo 6

Sabemos que a função t^4 - 1 é um polinômio, e os polinômios são contínuos em todo o conjunto dos números reais. Além disso, a função logarítmica ln(x) é contínua para x > 0 .

Passo 7

Como o argumento do logaritmo, t^4 - 1 , é contínuo e sempre positivo no domínio definido ( t < -1 ou t > 1 ), a composição ln(t^4 - 1) também será contínua nesses pontos.

Resposta

A função G(t) = ln(t^4 - 1) é contínua para todos os valores de t no seu domínio, que é t < -1 ou t > 1 .

Exercícios relacionados