Explique por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Estabeleça seu domínio.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos mostrar que essa função é contínua para todos os números no seu domínio e também determinar qual é esse domínio. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade de funções e sobre o domínio das funções logarítmicas.
Passo 2
Vamos começar determinando o domínio da função
. Sabemos que o logaritmo natural
só está definido para
. Portanto, o argumento do logaritmo,
, precisa ser maior que zero:
Passo 3
Resolvendo a inequação
, temos:
Para encontrar os valores de
que satisfazem isso, tiramos a raiz quarta:
Ou seja,
ou
.
Passo 4
Portanto, o domínio da função
é:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que a função
é contínua em todo ponto do seu domínio. Uma função composta é contínua se suas funções componentes são contínuas onde são definidas.
Passo 6
Sabemos que a função
é um polinômio, e os polinômios são contínuos em todo o conjunto dos números reais. Além disso, a função logarítmica
é contínua para
.
Passo 7
Como o argumento do logaritmo,
, é contínuo e sempre positivo no domínio definido (
ou
), a composição
também será contínua nesses pontos.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
no seu domínio, que é
ou
.