(Área exata) Mostre que a área sob
de
até
é 8 , usando:
(a) Geometria (fórmula de área do trapézio)
(b) Limite de somas de Riemann
(a) Geometria (fórmula de área do trapézio)
(b) Limite de somas de Riemann
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a área sob a função
entre
e
é igual a 8. A gente vai fazer isso de duas maneiras: primeiro usando geometria, aplicando a fórmula da área do trapézio, e depois usando limites de somas de Riemann.
Passo 2
Parte (a): Geometria (Fórmula da Área do Trapézio)
Vamos começar pela parte da geometria. A ideia é visualizar a área sob a curva
entre
e
como um trapézio.
Passo 3
Primeiro, identificamos os pontos onde a função é avaliada nos limites do intervalo:
- Em
: - Em
:
Esses valores vão ser as bases do trapézio.
Passo 4
A fórmula da área do trapézio é:
Onde:
-
e são as bases paralelas -
é a altura (a distância entre as bases)
Passo 5
Nesse caso:
-
(em ) -
(em ) -
Passo 6
Aplicando os valores na fórmula:
Então, a área do trapézio é 8.
Passo 7
Parte (b): Limite de Somas de Riemann
Agora, vamos fazer a mesma coisa usando o conceito de somas de Riemann, que é uma forma de calcular áreas sob curvas usando limites.
Passo 8
Primeiro, dividimos o intervalo
em
subintervalos de mesma largura. A largura de cada subintervalo (
) é:
Passo 9
Escolhemos pontos
dentro de cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar os pontos à direita, ou seja:
Então, a soma de Riemann fica:
Passo 10
Substituindo
:
Separando as somas:
Simplificando:
Passo 11
Agora, tiramos o limite quando
tende ao infinito:
Portanto, a área sob a curva é 8.
Resposta
A área sob a função
entre
e
é igual a 8, tanto pela geometria usando a fórmula do trapézio quanto pelo limite das somas de Riemann.