(Área exata) Mostre que a área sob f(x)=2 x de x=1 até x=3 é 8 , usando:
(a) Geometria (fórmula de área do trapézio)
(b) Limite de somas de Riemann

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a área sob a função f(x) = 2x entre x = 1 e x = 3 é igual a 8. A gente vai fazer isso de duas maneiras: primeiro usando geometria, aplicando a fórmula da área do trapézio, e depois usando limites de somas de Riemann.

Passo 2

Parte (a): Geometria (Fórmula da Área do Trapézio)

Vamos começar pela parte da geometria. A ideia é visualizar a área sob a curva f(x) = 2x entre x = 1 e x = 3 como um trapézio.

Passo 3

Primeiro, identificamos os pontos onde a função é avaliada nos limites do intervalo:
  • Em x = 1 : f(1) = 2 times 1 = 2
  • Em x = 3 : f(3) = 2 times 3 = 6
Esses valores vão ser as bases do trapézio.

Passo 4

A fórmula da área do trapézio é:
A = (b1 + b2)2 times h
Onde:
  • b1 e b2 são as bases paralelas
  • h é a altura (a distância entre as bases)

Passo 5

Nesse caso:
  • b1 = 2 (em x = 1 )
  • b2 = 6 (em x = 3 )
  • h = 3 - 1 = 2

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
A = (2 + 6)2 times 2 = 82 times 2 = 4 times 2 = 8
Então, a área do trapézio é 8.

Passo 7

Parte (b): Limite de Somas de Riemann

Agora, vamos fazer a mesma coisa usando o conceito de somas de Riemann, que é uma forma de calcular áreas sob curvas usando limites.

Passo 8

Primeiro, dividimos o intervalo [1, 3] em n subintervalos de mesma largura. A largura de cada subintervalo ( De<a x ) é:
De<a x = 3 - 1n = 2n

Passo 9

Escolhemos pontos xi dentro de cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar os pontos à direita, ou seja:
xi = 1 + i De<a x para i = 1, 2, ldots, n
Então, a soma de Riemann fica:
Sn = sumi=1^n f(xi) De<a x = sumi=1^n 2xi times 2n

Passo 10

Substituindo xi :
Sn = sumi=1^n 2(1 + i 2n) times 2n = sumi=1^n ( 4n + 8in^2 )
Separando as somas:
Sn = 4n times n + 8n^2 times n(n+1)2 = 4 + 8(n+1)2n = 4 + 4(n+1)n
Simplificando:
Sn = 4 + 4 + 4n = 8 + 4n

Passo 11

Agora, tiramos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = limn to infty ( 8 + 4n ) = 8 + 0 = 8
Portanto, a área sob a curva é 8.

Resposta

A área sob a função f(x) = 2x entre x = 1 e x = 3 é igual a 8, tanto pela geometria usando a fórmula do trapézio quanto pelo limite das somas de Riemann.

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