(Limite de somas) Expresse a área sob f(x)=x^2+1 de x=-1 até x=2 como um limite de somas de Riemann. Não calcule o limite.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão trata de Cálculo Integral, mais especificamente do conceito de somas de Riemann para calcular a área sob a curva da função f(x) = x^2 + 1 no intervalo de x = -1 até x = 2 . Para resolver isso, vamos precisar dividir o intervalo em pequenas partes, calcular áreas de retângulos aproximados e então somar todas essas áreas para chegar à área total.

Passo 2

Vamos dividir o intervalo de x = -1 a x = 2 em n subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo, chamado de largura, será:
De<a x = 2 - (-1)n = 3n

Passo 3

Escolhemos um ponto em cada subintervalo para avaliar a função. Vamos usar o ponto esquerdo de cada subintervalo para simplificar. O ponto xi no i -ésimo subintervalo será:
xi = -1 + i cdot De<a x = -1 + i cdot 3n, para i = 0, 1, 2, dots, n-1

Passo 4

A soma de Riemann utilizando os pontos esquerdos fica:
sumi=0^n-1 f(xi) cdot De<a x = sumi=0^n-1 ( (-1 + i cdot 3n)^2 + 1 ) cdot 3n

Resposta

A área sob f(x) = x^2 + 1 de x = -1 até x = 2 pode ser expressa como o seguinte limite de somas de Riemann:
limn to infty sumi=0^n-1 ( (-1 + i cdot 3n)^2 + 1 ) cdot 3n

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