( 1,0 \mathrm{pt} ) - Coordenadas Polares
Use coordenadas polares para calcular:
\iint_{R} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} d x d y
onde R é o disco de raio 1 centrado na origem.

Passo 1

Temos que calcular a integral
\iint_{R} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\,dx\,dy
onde R é o disco de raio 1 centrado na origem. Como a região é circular e a função depende só de x^{2}+y^{2}, o conteúdo é “coordenadas polares” e vamos usar o jacobiano r para converter de dx\,dy em r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, o que dá x^{2}+y^{2}=r^{2} e
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Além disso, R vira 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi. Assim a integral fica
\iint_{R} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{1}{r^{2}+1}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Vamos primeiro calcular a integral interna em r. Fazemos a substituição
u = r^{2}+1,\quad du = 2r\,dr,
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\int_{0}^{1} \frac{r}{r^{2}+1}\,dr = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{u=2} \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\ln 2.

Passo 4

Agora integramos em \theta. Como não há \theta na expressão interna,
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando pelos resultados, o valor da integral total é
2\pi \times \frac{1}{2}\ln 2 = \pi\ln 2.

Resposta

\pi\ln 2

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