(1,0 pt) - Volume com integral dupla
Calcule o volume do sólido limitado por:
z=9-x^{2}-y^{2}, \quad z=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por z=9 - x^2 - y^2 e z=0. Para isso a gente vai usar uma integral dupla sobre a região projetada no plano xy.

Passo 2

A projeção D no plano xy é o disco
x^2 + y^2 \le 9.
Em coordenadas polares isso vira
0 \le r \le 3,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,
e a área elementar é dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iint_{D} \bigl(9 - x^2 - y^2\bigr)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{3} (9 - r^2)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro calculamos a integral interna em r:
\int_{0}^{3} (9r - r^3)\,dr = \left[\frac{9r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{3} = \frac{9\cdot 9}{2} - \frac{81}{4} = \frac{81}{2} - \frac{81}{4} = \frac{81}{4}.

Passo 5

Agora a gente integra em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{81}{4}\,d\theta = \frac{81}{4}\,2\pi = \frac{81\pi}{2}.

Resposta

O volume do sólido é V = \frac{81\pi}{2}.

Exercícios relacionados