1. A área lateral de uma pirâmide regular hexagonal mede 72 \mathrm{~m}^{2}. Sabendo que a aresta da base mede 4 m , calcule o volume.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular com base hexagonal e fornece duas informações importantes:
  • A área lateral é 72\\ \mathrm{m}^2.
  • A aresta da base (lado do hexágono) mede 4\\ \mathrm{m}.
O que o problema pede:
  • Calcular o volume da pirâmide.
Informações relevantes listadas:
  • A_{\text{lateral}}=72\\ \mathrm{m}^2.
  • aresta da base a=4\\ \mathrm{m}.
  • Base: polígono regular de 6 lados (hexágono regular).

Passo 2

Entendendo a área lateral de uma pirâmide regular: a área lateral é a soma das áreas dos 6 triângulos isósceles que formam as faces laterais. Cada face lateral tem base igual a um lado do hexágono a e altura igual à aresta lateral (altura inclinada) da face, chamada de altura geratriz ou altura lateral l. Assim a área lateral total é
A_{\text{lateral}}=\frac{P\cdot l}{2},
onde P é o perímetro da base.
Calcule o perímetro do hexágono:
P=6a=6\cdot 4=24\\ \mathrm{m}.
Agora aplicamos a fórmula da área lateral com os valores conhecidos:
72 = A_{\text{lateral}} = \frac{24\cdot l}{2} = 12\,l.
Logo isolando l:
l=\frac{72}{12}=6\\ \mathrm{m}.
Comentário amigável: já descobrimos a altura inclinada das faces da pirâmide, l=6\\ \mathrm{m}. Boa!

Passo 3

Para achar o volume precisamos da altura vertical da pirâmide, h. Relacionamos h, l e o apótema da base r (distância do centro do hexágono até o ponto médio de um lado) por um triângulo retângulo: a seção que passa pelo vértice da pirâmide e pelo centro da base corta uma face lateral, formando um triângulo retângulo com catetos h e r e hipotenusa l. Assim vale
l^2 = h^2 + r^2.
Precisamos então do apótema r do hexágono regular de lado a. Para um hexágono regular, o raio circunscrito vale a e o apótema vale
r = a\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo a=4:
r = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora usamos a relação pitagórica para obter a altura h. Já temos l=6 e r=2\sqrt{3}, então
h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2}.
Calcule passo a passo:
6^2 = 36,\qquad (2\sqrt{3})^2 = 4\cdot 3 = 12,
então
h = \sqrt{36-12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora precisamos da área da base. Duas formas comuns: usar A_{\text{base}}=\dfrac{P\cdot r}{2} (perímetro vezes apótema sobre 2) ou a fórmula fechada do hexágono A_{\text{base}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2. Vou usar A_{\text{base}}=\dfrac{P\cdot r}{2} com os valores já calculados:
A_{\text{base}} = \frac{24\cdot (2\sqrt{3})}{2} = 24\sqrt{3}\\ \mathrm{m}^2.
(Verificação rápida: pela fórmula \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 16 = 24\sqrt{3}, bate certinho.)

Passo 6

Fórmula do volume da pirâmide:
V=\frac{1}{3}A_{\text{base}}\cdot h.
Substituindo A_{\text{base}}=24\sqrt{3} e h=2\sqrt{6}:
V=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}.
Calcule em etapas:
24\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6} = 48\sqrt{18}.
Como \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}, temos
48\sqrt{18} = 48\cdot 3\sqrt{2} = 144\sqrt{2}.
Finalmente
V=\frac{1}{3}\cdot 144\sqrt{2} = 48\sqrt{2}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 7

Chegamos ao resultado final. Dá um suspiro: fizemos cortar o problema em pedaços — área lateral → geratriz → apótema → altura → área da base → volume — e cada passo foi simples. Você consegue repetir isso na prova: sempre relacione a informação dada com fórmulas elementares e vá isolando as incógnitas.

Resposta

48\sqrt{2}\\ \mathrm{m}^3

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