- A área lateral de uma pirâmide regular hexagonal mede
. Sabendo que a aresta da base mede 4 m , calcule o volume.
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide regular com base hexagonal e fornece duas informações importantes:
- A área lateral é
. - A aresta da base (lado do hexágono) mede
.
O que o problema pede:
- Calcular o volume da pirâmide.
Informações relevantes listadas:
-
. - aresta da base
. - Base: polígono regular de 6 lados (hexágono regular).
Passo 2
Entendendo a área lateral de uma pirâmide regular: a área lateral é a soma das áreas dos
triângulos isósceles que formam as faces laterais. Cada face lateral tem base igual a um lado do hexágono
e altura igual à aresta lateral (altura inclinada) da face, chamada de altura geratriz ou altura lateral
. Assim a área lateral total é
onde
é o perímetro da base.
Calcule o perímetro do hexágono:
Agora aplicamos a fórmula da área lateral com os valores conhecidos:
Logo isolando
:
Comentário amigável: já descobrimos a altura inclinada das faces da pirâmide,
. Boa!
Passo 3
Para achar o volume precisamos da altura vertical da pirâmide,
. Relacionamos
,
e o apótema da base
(distância do centro do hexágono até o ponto médio de um lado) por um triângulo retângulo: a seção que passa pelo vértice da pirâmide e pelo centro da base corta uma face lateral, formando um triângulo retângulo com catetos
e
e hipotenusa
. Assim vale
Precisamos então do apótema
do hexágono regular de lado
. Para um hexágono regular, o raio circunscrito vale
e o apótema vale
Substituindo
:
Passo 4
Agora usamos a relação pitagórica para obter a altura
. Já temos
e
, então
Calcule passo a passo:
então
Passo 5
Agora precisamos da área da base. Duas formas comuns: usar
(perímetro vezes apótema sobre 2) ou a fórmula fechada do hexágono
. Vou usar
com os valores já calculados:
(Verificação rápida: pela fórmula
, bate certinho.)
Passo 6
Fórmula do volume da pirâmide:
Substituindo
e
:
Calcule em etapas:
Como
, temos
Finalmente
Passo 7
Chegamos ao resultado final. Dá um suspiro: fizemos cortar o problema em pedaços — área lateral → geratriz → apótema → altura → área da base → volume — e cada passo foi simples. Você consegue repetir isso na prova: sempre relacione a informação dada com fórmulas elementares e vá isolando as incógnitas.