1. Em uma pirâmide hexagonal regular, cuja a altura mede 12 m e o apótema da base mede 5 m . Calcule a área total.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área total de uma pirâmide hexagonal regular.
Dados fornecidos:
  • a altura da pirâmide é 12\,\text{m};
  • o apótema da base (distância do centro da base até o ponto médio de um lado) mede 5\,\text{m}.
O que precisa ser encontrado: a área total da pirâmide (área da base + área lateral).

Passo 2

Entendendo as peças do problema (sem resolver ainda):
  • A base é um hexágono regular com apótema a_{\text{b}} = 5\,\text{m}. Vou precisar da área dessa base.
  • A parte lateral é composta por 6 triângulos isósceles congruentes. Cada triângulo tem base igual ao lado do hexágono e altura igual à geratriz (slant height) da pirâmide. Vou precisar calcular essa geratriz e a área total das faces laterais.
  • A área total será a soma da área da base com a área lateral.

Passo 3

Fórmulas e conceitos básicos que vamos usar (explicando cada pedacinho):
  • Área de um polígono regular expressa pelo apótema: a área A_{\text{base}} de um polígono regular é dada por
A_{\text{base}}=\frac{P\cdot a_{\text{b}}}{2}
onde P é o perímetro do polígono e a_{\text{b}} é o apótema (distância do centro ao meio do lado). Aqui isso vale para o hexágono.
  • Relação entre apótema a_{\text{b}} e lado s para um polígono regular com n lados:
a_{\text{b}}=\frac{s}{2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}.
No caso n=6 temos \tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}. Substituindo a gente obtém uma relação simples entre s e a_{\text{b}}. Vou mostrar isso no próximo passo.
  • Área lateral: cada face lateral é um triângulo com base s e altura igual à geratriz l (slant height). A área lateral total A_{\text{lat}} é
A_{\text{lat}}=\frac{P\cdot l}{2}.
  • Para a geratriz l usamos o Teorema de Pitágoras no triângulo reto formado pela altura da pirâmide h, pelo apótema da base a_{\text{b}} (distância horizontal do centro ao ponto médio do lado) e pela própria geratriz l:
l=\sqrt{h^{2}+a_{\text{b}}^{2}}.

Passo 4

Calcular o lado s do hexágono a partir do apótema a_{\text{b}}=5\,\text{m}. Usando a fórmula para n=6:
a_{\text{b}}=\frac{s}{2\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{s}{2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}=s\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Isolando s:
s=\frac{2a_{\text{b}}}{\sqrt{3}}.
Substituindo a_{\text{b}}=5\,\text{m}:
s=\frac{2\cdot 5}{\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}\,\text{m}.

Passo 5

Calcular o perímetro P do hexágono:
P=6s=6\cdot\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{60}{\sqrt{3}}.
Racionalizando (opcional, mas útil):
\frac{60}{\sqrt{3}}=\frac{60\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}\,\text{m}.

Passo 6

Calcular a área da base usando a fórmula com apótema:
A_{\text{base}}=\frac{P\cdot a_{\text{b}}}{2}=\frac{20\sqrt{3}\cdot 5}{2}=10\sqrt{3}\cdot 5=50\sqrt{3}\,\text{m}^2.
Observação alternativa (identidade útil): para hexágono regular também se chega a
A_{\text{base}}=2\sqrt{3}\,a_{\text{b}}^{2},
e substituindo a_{\text{b}}=5 dá o mesmo 50\sqrt{3}\,\text{m}^2.

Passo 7

Calcular a geratriz l (slant height) usando Pitágoras. A altura é h=12\,\text{m} e a distância horizontal até o meio do lado é exatamente o apótema a_{\text{b}}=5\,\text{m}. Assim:
l=\sqrt{h^{2}+a_{\text{b}}^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\,\text{m}.
Que beleza: deu inteiro 13\,\text{m}.

Passo 8

Calcular a área lateral total usando P e l:
A_{\text{lat}}=\frac{P\cdot l}{2}=\frac{20\sqrt{3}\cdot 13}{2}=10\sqrt{3}\cdot 13=130\sqrt{3}\,\text{m}^2.

Passo 9

Somar área da base e área lateral para obter a área total A_{\text{total}}:
A_{\text{total}}=A_{\text{base}}+A_{\text{lat}}=50\sqrt{3}+130\sqrt{3}=180\sqrt{3}\,\text{m}^2.
Valor numérico aproximado (usando \sqrt{3}\approx 1,73205):
A_{\text{total}}\approx 180\cdot 1,73205\approx 311,77\,\text{m}^2.

Resposta

180\sqrt{3}\,\text{m}^2 \approx 311,77\,\text{m}^2

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