- Em uma pirâmide hexagonal regular, cuja a altura mede 12 m e o apótema da base mede 5 m . Calcule a área total.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área total de uma pirâmide hexagonal regular.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- a altura da pirâmide é
; - o apótema da base (distância do centro da base até o ponto médio de um lado) mede
.
O que precisa ser encontrado: a área total da pirâmide (área da base + área lateral).
Passo 2
Entendendo as peças do problema (sem resolver ainda):
- A base é um hexágono regular com apótema
. Vou precisar da área dessa base. - A parte lateral é composta por
triângulos isósceles congruentes. Cada triângulo tem base igual ao lado do hexágono e altura igual à geratriz (slant height) da pirâmide. Vou precisar calcular essa geratriz e a área total das faces laterais. - A área total será a soma da área da base com a área lateral.
Passo 3
Fórmulas e conceitos básicos que vamos usar (explicando cada pedacinho):
- Área de um polígono regular expressa pelo apótema: a área
de um polígono regular é dada por
onde
é o perímetro do polígono e
é o apótema (distância do centro ao meio do lado). Aqui isso vale para o hexágono.
- Relação entre apótema
e lado para um polígono regular com lados:
No caso
temos
. Substituindo a gente obtém uma relação simples entre
e
. Vou mostrar isso no próximo passo.
- Área lateral: cada face lateral é um triângulo com base
e altura igual à geratriz (slant height). A área lateral total é
- Para a geratriz
usamos o Teorema de Pitágoras no triângulo reto formado pela altura da pirâmide , pelo apótema da base (distância horizontal do centro ao ponto médio do lado) e pela própria geratriz :
Passo 4
Calcular o lado
do hexágono a partir do apótema
. Usando a fórmula para
:
Isolando
:
Substituindo
:
Passo 5
Calcular o perímetro
do hexágono:
Racionalizando (opcional, mas útil):
Passo 6
Calcular a área da base usando a fórmula com apótema:
Observação alternativa (identidade útil): para hexágono regular também se chega a
e substituindo
dá o mesmo
.
Passo 7
Calcular a geratriz
(slant height) usando Pitágoras. A altura é
e a distância horizontal até o meio do lado é exatamente o apótema
. Assim:
Que beleza: deu inteiro
.
Passo 8
Calcular a área lateral total usando
e
:
Passo 9
Somar área da base e área lateral para obter a área total
:
Valor numérico aproximado (usando
):