1. Num prisma triangular regular, a altura mede 8 cm e a aresta da base 6 cm . Obter:
    a) a área da base;
    b) a área lateral;
    c) a área total;

Passo 1

O enunciado dá um prisma triangular regular com as seguintes informações e pede três coisas. Informações fornecidas:
\text{altura do prisma } H = 8\\ \text{cm}
\text{aresta da base (lado do triângulo equilátero) } a = 6\\ \text{cm}âá
Perguntas do enunciado:
(a) calcular a área da base;
(b) calcular a área lateral;
(c) calcular a área total.

Passo 2

Entender a base: como o prisma é “triangular regular”, a base é um triângulo equilátero de lado a. Vou deduzir a fórmula da área do triângulo equilátero passo a passo (porque é útil saber isso na prova).
Considere um triângulo equilátero de lado a. Se traçarmos uma altura do triângulo, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais. Em cada retângulo temos:
  • hipotenusa = a,
  • cateto menor = \dfrac{a}{2} (metade da base),
  • cateto maior = altura do triângulo, que chamaremos de h_{t}.
Pelo Teorema de Pitágoras:
h_{t}^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = a^2.
Isolando h_{t}:
h_{t} = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,a.
A área do triângulo é metade da base vezes a altura:
A_{base} = \dfrac{1}{2}\,a\,h_{t} = \dfrac{1}{2}\,a\cdot\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,a\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.
Aqui a é o lado do triângulo e A_{base} é a área da base.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=6\\ \text{cm}:
A_{base} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 6^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36 = 9\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.
Se quiser uma aproximação numérica, use \sqrt{3}\approx 1,732:
A_{base}\approx 9\cdot 1,732 = 15,588\\ \text{cm}^2\approx 15,59\\ \text{cm}^2.

Passo 4

Área lateral do prisma: cada face lateral de um prisma triangular é um retângulo cuja base é um lado do triângulo a e cuja altura é a altura do prisma H. Como há 3 lados no triângulo, há 3 retângulos. Uma forma prática de lembrar a área lateral é:
A_{lat} = P_{base}\cdot H,
onde P_{base} é o perímetro da base. Para um triângulo equilátero P_{base}=3a. Aqui H é a altura do prisma (a aresta lateral), que no enunciado é 8\\ \text{cm}.

Passo 5

Calcule o perímetro da base e a área lateral:
P_{base}=3a=3\cdot 6=18\\ \text{cm}.
A_{lat}=P_{base}\cdot H=18\cdot 8=144\\ \text{cm}^2.
(Verificação alternativa: cada retângulo tem área a\cdot H=6\cdot 8=48\\ \text{cm}^2 e há 3 deles: 3\cdot48=144\\ \text{cm}^2.)

Passo 6

Área total do prisma: é a soma da área lateral com as duas bases:
A_{tot}=A_{lat}+2A_{base}.
Substituindo os valores exatos:
A_{tot}=144 + 2\cdot(9\sqrt{3}) = 144 + 18\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.
Aproximação numérica usando \sqrt{3}\approx 1,732:
18\sqrt{3}\approx 18\cdot 1,732 = 31,176
A_{tot}\approx 144 + 31,176 = 175,176\\ \text{cm}^2 \approx 175,18\\ \text{cm}^2.

Passo 7

Resumo e dicas finais rápidas para a prova: memorize a fórmula da área do triângulo equilátero \displaystyle A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 e a fórmula da área lateral do prisma \displaystyle A_{lat}=P_{base}\cdot H. Em problemas com prismas, verificar se a base é regular (equilátero) ajuda a simplificar cálculos do perímetro e da área da base.

Resposta

(a) A_{base}=9\sqrt{3}\\ \text{cm}^2 (aprox. 15,59\\ \text{cm}^2)
(b) A_{lateral}=144\\ \text{cm}^2
(c) A_{total}=144+18\sqrt{3}\\ \text{cm}^2 (aprox. 175,18\\ \text{cm}^2)

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