1. Calcule a área lateral e o volume de um pirâmide quadrangular regular, sabendo que a área da base é 64 \mathrm{~cm}^{2} e que a altura da pirâmide é igual a diagonal da base.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a área lateral e o volume de uma pirâmide quadrangular regular. As informações dadas são:
A área da base é \,64\\ \text{cm}^2.
A altura da pirâmide é igual à diagonal da base.
Não há outras informações. Vamos identificar variáveis úteis: seja a o lado do quadrado da base, seja h a altura da pirâmide (distância perpendicular do vértice ao plano da base), e seja l a altura lateral (também chamada de apótema da face triangular), que é a altura de cada face triangular desde o meio da aresta da base até o vértice.

Passo 2

Determinar o lado a da base a partir da área da base.
A área de um quadrado é dada por
\text{área da base} = a^2,á
onde a é o lado do quadrado. Como a área da base é \,64\\ \text{cm}^2, temos
a^2 = 64.
Extraindo raiz quadrada (lado positivo),
a = 8\\ \text{cm}.
Explicação didática: a fórmula a^2 significa que multiplicamos o comprimento do lado por ele mesmo. Para descobrir a, tiramos a raiz quadrada de 64.

Passo 3

Calcular a diagonal da base e usar a condição do enunciado.
A diagonal d de um quadrado de lado a é dada por
d = a\sqrt{2},
porque o triângulo formado por dois lados e a diagonal é um triângulo retângulo isósceles. Com a=8,
d = 8\sqrt{2}\\ \text{cm}.
O enunciado diz que a altura da pirâmide h é igual à diagonal da base, portanto
h = 8\sqrt{2}\\ \text{cm}.
Comentário prático: imaginar o quadrado e sua diagonal ajuda — essa diagonal é maior que o lado; aqui ela virou a altura da pirâmide.

Passo 4

Entender e calcular o apótema l (altura lateral das faces triangulares).
Cada face lateral é um triângulo isósceles cuja altura (apótema) l forma um triângulo retângulo com a altura h da pirâmide e a distância do centro da base até o ponto médio de uma aresta. A distância do centro do quadrado até o meio de um lado é metade do lado, ou seja \dfrac{a}{2}. Então, vale o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por h, \dfrac{a}{2} e l:
l = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2}.
Substituindo h=8\sqrt{2} e a=8,
\left(\dfrac{a}{2}\right) = 4,
l = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + 4^2}.
Calcule passo a passo:
(8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128,
4^2 = 16,
l = \sqrt{128 + 16} = \sqrt{144} = 12\\ \text{cm}.
Didática: usamos Pitágoras porque projetamos a altura vertical h até o centro e, do centro ao meio da aresta, temos deslocamento horizontal; a hipotenusa desse triângulo é justamente o apótema l.

Passo 5

Lembrar a fórmula da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular e justificá-la.
A área lateral A_L é a soma das áreas das quatro faces triangulares. Cada face é um triângulo com base a e altura (apótema) l, então a área de uma face é \dfrac{a\cdot l}{2}. Como há 4 faces,
A_L = 4 \cdot \frac{a\cdot l}{2} = 2a l.
Outra forma comum de lembrar é usar A_L = \dfrac{P\cdot l}{2}, onde P é o perímetro da base; aqui P=4a, então \dfrac{4a\cdot l}{2}=2al.

Passo 6

Calcular numericamente a área lateral usando a=8 e l=12:
A_L = 2 \cdot a \cdot l = 2 \cdot 8 \cdot 12.
Calcule:
2 \cdot 8 = 16,\quad 16\cdot 12 = 192.
Portanto,
A_L = 192\\ \text{cm}^2.
Comentário motivador: ótima notícia — deu inteiro e fácil de calcular!

Passo 7

Lembrar e aplicar a fórmula do volume de uma pirâmide e calcular.
A fórmula do volume V de qualquer pirâmide é
V = \frac{1}{3}\cdot \text{(área da base)} \cdot \text{(altura)}.á
Explicação: pense que a pirâmide ocupa um terço do prisma que tem a mesma base e mesma altura — isso é um resultado clássico demonstrado por integração ou por cortes geométricos.
Aqui a área da base é \,64\\ \text{cm}^2 e a altura é h=8\sqrt{2}, então
V = \frac{1}{3}\cdot 64 \cdot 8\sqrt{2}.
Calcule passo a passo:
64\cdot 8 = 512,
V = \frac{512\sqrt{2}}{3}\\ \text{cm}^3.
Se quiser uma aproximação decimal, \sqrt{2}\approx 1{,}4142, então
V \approx \frac{512\cdot 1{,}4142}{3} \approx \frac{724{,}08}{3} \approx 241{,}36\\ \text{cm}^3,
mas a forma exata \dfrac{512\sqrt{2}}{3}\\ \text{cm}^3 é preferível.

Resposta

A_L = 192\\ \text{cm}^2
V = \dfrac{512\sqrt{2}}{3}\\ \text{cm}^3

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