- Calcule a área lateral e o volume de um pirâmide quadrangular regular, sabendo que a área da base é
e que a altura da pirâmide é igual a diagonal da base.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a área lateral e o volume de uma pirâmide quadrangular regular. As informações dadas são:
A área da base é
.
A altura da pirâmide é igual à diagonal da base.
Não há outras informações. Vamos identificar variáveis úteis: seja o lado do quadrado da base, seja
a altura da pirâmide (distância perpendicular do vértice ao plano da base), e seja
a altura lateral (também chamada de apótema da face triangular), que é a altura de cada face triangular desde o meio da aresta da base até o vértice.
Não há outras informações. Vamos identificar variáveis úteis: seja
Passo 2
Determinar o lado
da base a partir da área da base.
A área de um quadrado é dada por
A área de um quadrado é dada por
onde
é o lado do quadrado. Como a área da base é
, temos
Extraindo raiz quadrada (lado positivo),
Explicação didática: a fórmula
significa que multiplicamos o comprimento do lado por ele mesmo. Para descobrir
, tiramos a raiz quadrada de
.
Passo 3
Calcular a diagonal da base e usar a condição do enunciado.
A diagonal de um quadrado de lado
é dada por
A diagonal
porque o triângulo formado por dois lados e a diagonal é um triângulo retângulo isósceles. Com
,
O enunciado diz que a altura da pirâmide
é igual à diagonal da base, portanto
Comentário prático: imaginar o quadrado e sua diagonal ajuda — essa diagonal é maior que o lado; aqui ela virou a altura da pirâmide.
Passo 4
Entender e calcular o apótema
(altura lateral das faces triangulares).
Cada face lateral é um triângulo isósceles cuja altura (apótema) forma um triângulo retângulo com a altura
da pirâmide e a distância do centro da base até o ponto médio de uma aresta. A distância do centro do quadrado até o meio de um lado é metade do lado, ou seja
. Então, vale o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por
,
e
:
Cada face lateral é um triângulo isósceles cuja altura (apótema)
Substituindo
e
,
Calcule passo a passo:
Didática: usamos Pitágoras porque projetamos a altura vertical
até o centro e, do centro ao meio da aresta, temos deslocamento horizontal; a hipotenusa desse triângulo é justamente o apótema
.
Passo 5
Lembrar a fórmula da área lateral de uma pirâmide quadrangular regular e justificá-la.
A área lateral é a soma das áreas das quatro faces triangulares. Cada face é um triângulo com base
e altura (apótema)
, então a área de uma face é
. Como há 4 faces,
A área lateral
Outra forma comum de lembrar é usar
, onde
é o perímetro da base; aqui
, então
.
Passo 6
Calcular numericamente a área lateral usando
e
:
Calcule:
Portanto,
Comentário motivador: ótima notícia — deu inteiro e fácil de calcular!
Passo 7
Lembrar e aplicar a fórmula do volume de uma pirâmide e calcular.
A fórmula do volume de qualquer pirâmide é
A fórmula do volume
Explicação: pense que a pirâmide ocupa um terço do prisma que tem a mesma base e mesma altura — isso é um resultado clássico demonstrado por integração ou por cortes geométricos.
Aqui a área da base é
e a altura é
, então
Calcule passo a passo:
Se quiser uma aproximação decimal,
, então
mas a forma exata
é preferível.