- O volume de uma semiesfera de raio
é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma semiesfera (metade de uma esfera) de raio
. As alternativas dadas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações relevantes fornecidas:
- é uma semiesfera (ou seja, metade de uma esfera);
- o raio vale
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar: o volume de uma esfera de raio
é
Explicando a fórmula de forma simples: aqui
é a constante geométrica (aprox.
) e
é o raio da esfera. O expoente
em
indica que o volume tem dimensão de comprimento ao cubo (como esperado para volumes). Essa fórmula é padrão e normalmente é aceita em provas; ela pode ser obtida por integração ou por argumentos geométricos, mas não precisamos derivá-la aqui — só entender que devemos substituir
.
Passo 3
Como a figura é uma semiesfera (metade de uma esfera), o volume da semiesfera é metade do volume da esfera correspondente. Assim,
Passo 4
Calcular
para
. Fazendo passo a passo:
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
Agora multiplica-se por
para obter o cubo:
Outra forma direta (equivalente) é
.
Passo 5
Substituímos
na fórmula do volume da esfera:
Simplificando a constante:
Portanto
Passo 6
Agora a semiesfera tem metade desse volume:
Passo 7
Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide é a alternativa (d):
.
Resposta
(d)