1. O volume de uma semiesfera de raio 3 \sqrt{2} é
    a) 216 \sqrt{2}
    b) 180 \sqrt{2} \pi
    c) 72 \sqrt{2} \pi
    d) 36 \sqrt{2} \pi

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma semiesfera (metade de uma esfera) de raio 3\sqrt{2}. As alternativas dadas são:
(a) 216 \sqrt{2}
(b) 180 \sqrt{2} \pi
(c) 72 \sqrt{2} \pi
(d) 36 \sqrt{2} \pi
Informações relevantes fornecidas:
  • é uma semiesfera (ou seja, metade de uma esfera);
  • o raio vale 3\sqrt{2}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: o volume de uma esfera de raio r é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Explicando a fórmula de forma simples: aqui \pi é a constante geométrica (aprox. 3{,}1415\ldots) e r é o raio da esfera. O expoente 3 em r^{3} indica que o volume tem dimensão de comprimento ao cubo (como esperado para volumes). Essa fórmula é padrão e normalmente é aceita em provas; ela pode ser obtida por integração ou por argumentos geométricos, mas não precisamos derivá-la aqui — só entender que devemos substituir r.

Passo 3

Como a figura é uma semiesfera (metade de uma esfera), o volume da semiesfera é metade do volume da esfera correspondente. Assim,
V_{\text{semiesfera}} = \frac{1}{2} V_{\text{esfera}} = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right).

Passo 4

Calcular r^{3} para r = 3\sqrt{2}. Fazendo passo a passo:
Primeiro calculemos (3\sqrt{2})^{2}:
(3\sqrt{2})^{2} = 9 \cdot 2 = 18.
Agora multiplica-se por 3\sqrt{2} para obter o cubo:
(3\sqrt{2})^{3} = 18 \cdot 3\sqrt{2} = 54\sqrt{2}.
Outra forma direta (equivalente) é (3\sqrt{2})^{3} = 27\cdot (\sqrt{2})^{3} = 27\cdot 2\sqrt{2} = 54\sqrt{2}.

Passo 5

Substituímos r^{3} = 54\sqrt{2} na fórmula do volume da esfera:
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 54\sqrt{2}.
Simplificando a constante:
\frac{4}{3}\cdot 54 = \frac{4\cdot 54}{3} = 4\cdot 18 = 72.
Portanto
V_{\text{esfera}} = 72\sqrt{2}\,\pi.

Passo 6

Agora a semiesfera tem metade desse volume:
V_{\text{semiesfera}} = \frac{1}{2}\cdot 72\sqrt{2}\,\pi = 36\sqrt{2}\,\pi.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide é a alternativa (d): 36\sqrt{2}\pi.

Resposta

(d) 36 \sqrt{2} \pi

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